Проверить сходится ли ряд условно

Определим предмет и раздел предмета.

Исходя из изображения, это задание относится к математике, а конкретно к разделу анализа, где рассматриваются ряды.

Задание: Проверить, сходится ли ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + \sqrt{2n}} \]

Решение:

Для того чтобы показать, что данный ряд сходится условно, воспользуемся признаком Лейбница, который применяется для знакопеременных рядов.

Признак Лейбница: Знакопеременный ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \] сходится, если последовательность \( a_n \) удовлетворяет двум условиям:

1. \( a_n \) убывает, то есть \( a_{n+1} \leq a_n \).
2. \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

В нашем случае \[ a_n = \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} \]

Рассмотрим оба условия:

1. Убывание последовательности \( a_n \):
   Исследуем функцию \( a_n = \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} \):
   • Поскольку \( \sqrt{2n} \) возрастает, то и \( 1 + \sqrt{2n} \) возрастает.
   • Следовательно, \( \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} \) убывает, так как с увеличением знаменателя сама дробь уменьшается.
2. Предел последовательности \( a_n \):
   Найдём предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} \):
   • Так как \( \sqrt{2n} \to \infty \) при \( n \to \infty \), то \( 1 + \sqrt{2n} \to \infty \).
   • Соответственно, \( \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} \to 0 \).

Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены:

1. \( \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} \) убывает.
2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \sqrt{2n}} = 0 \).

Следовательно, ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + \sqrt{2n}} \] условно сходится.

Ответ: Сходится условно.