Проверить необходимый признак сходимости для бесконечных числовых рядов

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды

Задание: Проверить необходимый признак сходимости для бесконечных числовых рядов.

Теория: Необходимый признак сходимости

Если числовой ряд
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
сходится, то его общий член стремится к нулю:
\lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Если \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 или не существует, то ряд расходится.

Рассмотрим каждый ряд по очереди.

1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{10n^3 + 1}

Обозначим a_n = \frac{n}{10n^3 + 1}.
Найдём предел:

 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{10n^3 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{10n^2 + \frac{1}{n}} = 0 

✅ Необходимый признак выполняется. Ряд может сходиться (необходимый признак не отрицает сходимость).

2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^3 + 10}

Обозначим a_n = \frac{n^3}{n^3 + 10}.
Найдём предел:

 \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3 + 10} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10}{n^3}} = 1 

❌ Предел общего члена не равен нулю.
Следовательно, ряд расходится по необходимому признаку сходимости.

3) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12n}{4n - 1}

Обозначим a_n = \frac{12n}{4n - 1}.
Найдём предел:

 \lim_{n \to \infty} \frac{12n}{4n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{12}{4 - \frac{1}{n}} = \frac{12}{4} = 3 

❌ Предел общего члена не равен нулю.
Следовательно, ряд расходится по необходимому признаку сходимости.

Ответ:

1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{10n^3 + 1} — признак выполняется, возможно сходится
2. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^3 + 10} — признак не выполняется, ряд расходится
3. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12n}{4n - 1} — признак не выполняется, ряд расходится