Проверить на сходимость по признаку Даламбера

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (Исследование сходимости числовых рядов)

Задание:
Проверить на сходимость числовой ряд по признаку Даламбера:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n+1} 

📌 Признак Даламбера (признак отношения)

Для числового ряда \sum a_n признак Даламбера гласит:

Если существует предел

 L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|, 

то:

• Если L < 1, то ряд сходится.
• Если L > 1 или L = \infty, то ряд расходится.
• Если L = 1, то признак не дает ответа.

✍ Решение:

Дан ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n+1} 

Найдем отношение \frac{a_{n+1}}{a_n}:

 a_n = \frac{4^n}{n+1}, \quad a_{n+1} = \frac{4^{n+1}}{(n+1)+1} = \frac{4 \cdot 4^n}{n+2} 

Тогда:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{4 \cdot 4^n}{n+2}}{\frac{4^n}{n+1}} = 4 \cdot \frac{n+1}{n+2} 

Теперь найдём предел:

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} 4 \cdot \frac{n+1}{n+2} = 4 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 4 \cdot 1 = 4 

✅ Вывод:

Так как L = 4 > 1, по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Если нужно, могу также объяснить необходимый признак сходимости.