Проверить на сходимость

Этот пример относится к предмету «математика», а конкретнее к разделу «математический анализ» или «ряды». Задание состоит в проверке сходимости данного ряда. Рассмотрим данный ряд: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{4^n \cdot (2n + 1)} \] Для проверки сходимости рассмотрим несколько методов.

Один из наиболее эффективных методов — признак Д'Аламбера (или признак Лейбница–Гаспара).

Признак Д'Аламбера (или признак Коши) гласит: для того чтобы положительный числовой ряд \( \sum a_n \) сходился, необходимо и достаточно, чтобы предел отношения последовательных членов ряда был меньше единицы, то есть: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \].

Рассмотрим коэффициенты ряда: \[ a_n = \frac{(x+1)^n}{4^n \cdot (2n + 1)} \]. Вычислим отношение последовательных членов: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(x+1)^{n+1}}{4^{n+1} \cdot (2(n+1) + 1)}}{\frac{(x+1)^n}{4^n \cdot (2n + 1)}} \right| = \left| \frac{(x+1)^{n+1}}{4^{n+1} \cdot (2n + 3)} \cdot \frac{4^n \cdot (2n + 1)}{(x+1)^n} \right| \].

Упростим выражение: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(x+1) \cdot (x+1)^n}{4 \cdot 4^n \cdot (2n + 3)} \cdot \frac{4^n \cdot (2n + 1)}{(x+1)^n} \right| = \left| \frac{(x+1) \cdot (2n + 1)}{4 \cdot (2n + 3)} \right| \].

Для больших \( n \) при расчете предела можно пренебречь малозначимыми членами в знаменателе: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x+1) \cdot (2n + 1)}{4 \cdot (2n + 3)} \right| = \left| \frac{x+1}{4} \cdot \frac{2n + 1}{2n + 3} \right| \]. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{2n + 3} = 1. \]

Таким образом: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{x+1}{4} \right| \]. Признак Д'Аламбера показывает, что ряд сходится, если: \[ \left| \frac{x+1}{4} \right| < 1, \] то есть \[ |x+1| < 4. \] Следовательно, чтобы ряд сходился, значение \( x \) должно удовлетворять: \[ -4 < x+1 < 4 \] \[ -5 < x < 3. \] Ряд сходится при \( -5 < x < 3 \).