Приближённо вычислить интеграл с точностью до 0.01, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды, Приближённое вычисление интегралов

Задание:

Приближённо вычислить интеграл

 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} 

с точностью до 0.01, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

Шаг 1: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Подынтегральная функция:

 f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} 

Используем биномиальный ряд для функции вида:

 (1 + x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad |x| < 1 

В нашем случае:

 f(x) = (1 + x^2)^{-1/2} 

Заменим x^2 на z, тогда:

 (1 + z)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-1/2}{n} z^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!} z^n 

Подставим обратно z = x^2:

 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!} x^{2n} 

Шаг 2: Подстановка в интеграл

 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} = \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!} x^{2n} dx 

Поменяем порядок интегрирования и суммирования (в пределах сходимости ряда):

 = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!} \int_0^1 x^{2n} dx 

Вычислим интеграл:

 \int_0^1 x^{2n} dx = \frac{1}{2n + 1} 

Итак, получаем:

 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!(2n + 1)} 

Шаг 3: Приближённое вычисление суммы

Вычислим первые несколько членов ряда до достижения точности 0.01.

n = 0:

 \frac{1}{1} = 1.000 

n = 1:

 - \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot 3} = -\frac{1}{6} ≈ -0.1667 

n = 2:

 \frac{3}{4 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{3}{40} = 0.075 

n = 3:

 - \frac{15}{8 \cdot 6 \cdot 7} = -\frac{15}{336} ≈ -0.0446 

n = 4:

 \frac{105}{16 \cdot 24 \cdot 9} = \frac{105}{3456} ≈ 0.0304 

n = 5:

 - \frac{945}{32 \cdot 120 \cdot 11} = -\frac{945}{42240} ≈ -0.0224 

Суммируем:

 S_5 = 1 - 0.1667 + 0.075 - 0.0446 + 0.0304 - 0.0224 ≈ 0.8717 

Следующий член порядка 0.016, а затем 0.012, то есть вклад уменьшается. Добавим ещё один член:

n = 6:

 \frac{10395}{64 \cdot 720 \cdot 13} = \frac{10395}{599040} ≈ 0.0174 

 S_6 ≈ 0.8717 + 0.0174 ≈ 0.8891 

Следующий член будет меньше 0.01, так что можно остановиться.

Ответ:

 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} \approx 0.889 \quad \text{(с точностью до 0.01)}