Построить ряд Фурье

Предмет: Математика
Раздел: Ряды Фурье

Задача 9.

Построить ряд Фурье для функции f(x) = x^3 на интервале [-\pi, \pi].

Пояснение к задаче

Ряд Фурье — это способ представить периодическую функцию в виде суммы синусов и косинусов с разными частотами и коэффициентами. Для функции с периодом 2\pi ряд Фурье на интервале [-\pi, \pi] записывается так:

 f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) 

где коэффициенты a_0, a_n, b_n вычисляются по формулам:

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx 

 a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx 

 b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx 

Шаг 1. Определяем четность функции

Функция f(x) = x^3 — это нечётная функция, потому что

 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) .

Для нечётной функции интеграл с косинусом (чётной функцией) будет равен нулю:

 a_0 = 0, \quad a_n = 0 

Таким образом, ряд Фурье будет состоять только из синусоидальных членов:

 f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx 

Шаг 2. Вычисляем коэффициенты b_n

Формула для коэффициентов b_n:

 b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x^3 \sin(nx) \, dx 

Поскольку произведение нечётной функции x^3 на нечётную функцию \sin(nx) — чётная функция (нечётная × нечётная = чётная), интеграл можно упростить:

 b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^3 \sin(nx) \, dx 

Шаг 3. Вычисляем интеграл \int_0^\pi x^3 \sin(nx) \, dx

Для вычисления используем метод интегрирования по частям.

Напомним формулу интегрирования по частям:

 \int u \, dv = uv - \int v \, du 

Пусть:

• u = x^3, тогда du = 3x^2 dx
• dv = \sin(nx) dx, тогда v = -\frac{1}{n} \cos(nx)

Подставляем:

 \int_0^\pi x^3 \sin(nx) dx = \left. -\frac{x^3}{n} \cos(nx) \right|_0^\pi + \frac{3}{n} \int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx 

Шаг 4. Вычисляем интеграл \int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx

Опять применяем интегрирование по частям:

Пусть:

• u = x^2, тогда du = 2x dx
• dv = \cos(nx) dx, тогда v = \frac{1}{n} \sin(nx)

Тогда:

 \int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx = \left. \frac{x^2}{n} \sin(nx) \right|_0^\pi - \frac{2}{n} \int_0^\pi x \sin(nx) dx 

Шаг 5. Вычисляем интеграл \int_0^\pi x \sin(nx) dx

Снова интегрирование по частям:

Пусть:

• u = x, тогда du = dx
• dv = \sin(nx) dx, тогда v = -\frac{1}{n} \cos(nx)

Тогда:

 \int_0^\pi x \sin(nx) dx = \left. -\frac{x}{n} \cos(nx) \right|_0^\pi + \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) dx 

Шаг 6. Вычисляем интеграл \int_0^\pi \cos(nx) dx

Это простой интеграл:

 \int_0^\pi \cos(nx) dx = \left. \frac{\sin(nx)}{n} \right|_0^\pi = \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(0)}{n} = 0 

(Поскольку \sin(k\pi) = 0 для любого целого k)

Шаг 7. Подставляем результаты в предыдущие выражения

Итак,

 \int_0^\pi x \sin(nx) dx = -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) + 0 = -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) 

Шаг 8. Подставляем в \int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx

 \int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{\pi^2}{n} \sin(n\pi) - \frac{2}{n} \left(-\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) \right) = 0 + \frac{2\pi}{n^2} \cos(n\pi) 

поскольку \sin(n\pi) = 0.

Шаг 9. Подставляем в \int_0^\pi x^3 \sin(nx) dx

 \int_0^\pi x^3 \sin(nx) dx = -\frac{\pi^3}{n} \cos(n\pi) + \frac{3}{n} \cdot \frac{2\pi}{n^2} \cos(n\pi) = \cos(n\pi) \left(-\frac{\pi^3}{n} + \frac{6\pi}{n^3} \right) 

Шаг 10. Записываем коэффициенты b_n

 b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^3 \sin(nx) dx = \frac{2}{\pi} \cos(n\pi) \left(-\frac{\pi^3}{n} + \frac{6\pi}{n^3} \right) = 2 \cos(n\pi) \left(-\frac{\pi^2}{n} + \frac{6}{n^3} \right) 

Шаг 11. Упрощаем и учитываем знак

Известно, что \cos(n\pi) = (-1)^n, значит:

 b_n = 2 (-1)^n \left(-\frac{\pi^2}{n} + \frac{6}{n^3} \right) = 2 (-1)^n \left(\frac{6}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) 

Итог: Ряд Фурье функции f(x) = x^3 на интервале [-\pi, \pi]

 x^3 \sim \sum_{n=1}^\infty 2 (-1)^n \left(\frac{6}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) \sin(nx) 

Краткое резюме:

• Функция нечётная, значит в ряде Фурье нет членов с косинусами и константы.
• Коэффициенты b_n вычислялись через интеграл, используя интегрирование по частям три раза.
• Получили явную формулу для коэффициентов.
• Итог — ряд Фурье с синусами и найденными коэффициентами.

Если нужна помощь с построением графика или дальнейшим анализом — обращайтесь!