Предмет и раздел предмета:
Предмет: Математический анализ
Раздел: Ряды (сходимость ряда, классификация специального вида рядов)
Решение:
Ряд №1:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(3n + 8)}{(2n+1)^4} \]
- Признак:
- Знакочередующийся ряд из-за ((-1)^{n+1}).
- В числителе линейная функция (3n + 8), а в знаменателе ((2n+1)^4) растет быстрее.
- Проверим сходимость:
- По общему признаку сходимости вида (a_n \to 0). Здесь a_n = \frac{3n+8}{(2n+1)^4} \to 0, т.к. степень в знаменателе выше степени в числителе.
- Это абсолютно сходящийся ряд.
Ряд №2:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n+9)}{(2n+5)^3} \]
- Признак:
- Числитель (\sin(2n+9)) периодический, но абсолютное значение (|\sin|) ограничено: (|\sin(2n+9)| \leq 1).
- В знаменателе ((2n+5)^3) быстро убывает с ростом (n), что позволяет предположить сходимость.
- Проверим сходимость:
- Аппроксимируем ряд как (\frac{1}{(2n+5)^3}), который является сходящимся (p)-рядом ((p=3 > 1)).
- Это ряд абсолютно сходящийся.
Ряд №3:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!(4n-1)}{(2n-9)^2} \]
- Признак:
- В числителе факториал n! растет быстрее любой полиномиальной функции.
- В знаменателе ((2n-9)^2) растет со степенью 2, что не компенсирует рост факториала.
- Проверка сходимости:
- Этот ряд расходится, так как n! в числителе доминирует над знаменателем.
Итоговое соответствие:
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(3n+8)}{(2n+1)^4} \) — Сходится
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n+9)}{(2n+5)^3}\) — Сходится
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!(4n-1)}{(2n-9)^2}\) — Расходится
На рисунке представлены три ряда. Чтобы правильно поставить соответствие, нужно проанализировать, каким образом каждый ряд выглядит: определяем сходимость, природу ряда (геометрический, гармонический, факториальный и т.д.), а также его общий вид.