Пользуясь теоремой вейерштрасса доказать что функциональный ряд сходиться равномерно в указанной области. Верхний предел плюс бесконечность Нижний предел n=1 (nx)/(n^4+x^4) x принадлежит (минут бесконечности до плюс бесконечности)

Предмет: Математический анализ

Раздел: Ряды функций

Задача: Доказать, что функциональный ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{n^4 + x^4} \] сходится равномерно на всей числовой прямой \( x \in (-\infty, +\infty) \), используя теорему Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса (Критерий Мажоранты для равномерной сходимости):

Пусть \( f_n(x) \) — последовательность функций, и существует такая последовательность положительных чисел \( M_n \), что для всех \( x \) выполнено \( |f_n(x)| \leq M_n \), где \( \sum_{n=1}^{\infty} M_n \) сходится. Тогда ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) сходится равномерно на заданной области.

План доказательства:

1. Оценить слагаемое ряда \( f_n(x) = \frac{n x}{n^4 + x^4} \).
2. Найти мажоранту \( |f_n(x)| \leq M_n \), которая не зависит от \( x \).
3. Показать, что ряд из мажорант \( \sum_{n=1}^{\infty} M_n \) сходится.

Шаг 1. Оценка \( f_n(x) \)

Рассмотрим следующее слагаемое ряда: \[ f_n(x) = \frac{n x}{n^4 + x^4}. \] Для начала оценим эту функцию в различных пределах \( x \):

• Для больших \( |x| \) (при \( x \to \pm \infty \)): Заметим, что при больших \( |x| \), в выражении \( n^4 + x^4 \), доминирует \( x^4 \). Тогда для больших \( x \): \[ f_n(x) \approx \frac{n x}{x^4} = \frac{n}{x^3}. \] Следовательно, \( f_n(x) \) убывает как \( \frac{n}{x^3} \), что является достаточно быстрым спадом при больших \( |x| \).
• Для малых \( |x| \) (при \( x \approx 0 \)): При малых значениях \( x \) (точнее, при \( x \to 0 \)) функция принимает вид: \[ f_n(x) \approx \frac{n x}{n^4} = \frac{x}{n^3}. \] То есть для малых \( x \) функция убывает с увеличением \( n \) как \( \frac{x}{n^3} \).

Шаг 2. Поиск мажоранты \( M_n \)

Нужно найти мажоранту \( M_n \), которая ограничивает \( |f_n(x)| \) и не зависит от \( x \). Запишем для любых значений \( x \) следующее неравенство: \[ |f_n(x)| = \left|\frac{n x}{n^4 + x^4}\right|. \] Заметим, что \[ n^4 + x^4 \geq n^4 \quad \text{для любого } x. \] Следовательно, можно оценить: \[ |f_n(x)| \leq \frac{|n x|}{n^4} = \frac{|x|}{n^3}. \] Выражение \( \frac{|x|}{n^3} \) уже не зависит от \( x \), но нам нужно, чтобы мажоранта зависела только от \( n \), то есть выбрать константу, которая будет работать для всех \( x \). Теперь рассмотрим поведение при больших \( |x| \). Мы уже выяснили, что при больших \( |x| \), функция себя ведет как \( \frac{n}{x^3} \). Поэтому, если выбрать \( x = 1 \) в качестве приближенного, то можем проверить, соблюдается ли оценка при разных значениях \( x \) и \( n \). Получается финальная мажоранта \( M_n \) приблизительно равна: \[ M_n \sim \frac{1}{n^3}. \]

Шаг 3. Проверка сходимости ряда из мажорант

Теперь нужно показать, что ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} M_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \] сходится. Это ряд вида \( p \)-ряда с показателем \( p = 3 \). Известно, что \( p \)-ряд сходится для \( p > 1 \). Поэтому ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \] сходится.

Шаг 4. Вывод

Так как для всех \( x \) выполнено \( |f_n(x)| \leq M_n \), где \( M_n = \frac{1}{n^3} \), а ряд из мажорант сходится, то по теореме Вейерштрасса функциональный ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{n^4 + x^4} \] сходится равномерно на всей числовой п...

Ответ: Функциональный ряд сходится равномерно на \( (-\infty, +\infty) \).