Показать, что ряд равномерно сходится на отрезке

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ (ряды, равномерная сходимость, интегрирование рядов)

Задание:

1. Показать, что ряд \( x^2 + x^6 + x^{10} + \dots + x^{4n-2} + \dots \) равномерно сходится на отрезке \( -1 + w \leq x \leq 1 - w \), где \( w \) — любое положительное число, меньше единицы.
2. Интегрированием данного ряда найти сумму ряда \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{7} + \dots + \frac{x^{4n-1}}{4n-1} + \dots \) на интервале \( (-1, 1) \).

1. Проверим равномерную сходимость ряда \( x^2 + x^6 + x^{10} + \dots \):

Дана последовательность частичных сумм ряда:

\[ S_N(x) = x^2 + x^6 + x^{10} + \dots + x^{4N-2}. \]

Каждый член ряда имеет вид:

\[ a_n(x) = x^{4n-2}, \quad n \geq 1. \]

Тест сходимости:

Общее исследование сходимости ряда основано на поведении его членов \( a_n(x) = x^{4n-2} \).

1. Анализ каждого члена ряда \( |a_n(x)| \): При фиксированном \( x \), \( |a_n(x)| = |x|^{4n-2} \), что стремится к нулю при \( |x| < 1 \). При \( |x| = 1 \) ряд может быть расходящимся (этот случай мы исключаем из рассматриваемого интервала).
2. Технический аргумент равномерной сходимости: Важно учесть, что для любых \( x \) в интервале \( -1 + w \leq x \leq 1 - w \), число \( |x| \leq 1 - w \), где \( w > 0 \). Тогда существует константа \( M = 1 - w < 1 \), такая что \( |x| \leq M \). Таким образом, члены ряда удовлетворяют оценке:

\[ |a_n(x)| = |x|^{4n-2} \leq M^{4n-2}. \]

3. Исследование нормы верхней оценки: Рассмотрим верхнюю оценку:

\[ \sum_{n=1}^\infty |a_n(x)| \leq \sum_{n=1}^\infty M^{4n-2}. \]

Ряд справа выражает сумму геометрической прогрессии с членом \( M^{4n-2} \), знаменатель которой есть \( M^4 < 1 \). Такой ряд сходится абсолютно для любого \( M < 1 \).

Заключение о равномерной сходимости:

Так как верхняя оценка для сумм членов ряда \( |a_n(x)| \) не зависит от \( x \), и ряд геометрической прогрессии сходится абсолютно, исходный ряд \( \sum_{n=1}^\infty x^{4n-2} \) равномерно сходится на отрезке \( -1 + w \leq x \leq 1 - w \).

2. Интегрируем исходный ряд для нахождения суммы нового ряда:

Теперь рассмотрим ряд:

\[ R(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{7} + \dots + \frac{x^{4n-1}}{4n-1} + \dots \]

Этот ряд получается из исходного ряда \( x^2 + x^6 + x^{10} + \dots \) интегрированием его членов по \( x \):

Если \( f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{4n-2} \), то:

\[ \int f(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty \int x^{4n-2} \, dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{4n-1}}{4n-1}. \]

Найдём формулу для суммы исходного ряда:

Исходный ряд \( x^2 + x^6 + x^{10} + \dots \) представляет собой ряд геометрической прогрессии с первым членом \( x^2 \) и знаменателем \( x^4 \):

\[ \sum_{n=1}^\infty x^{4n-2} = x^2 + x^6 + x^{10} + \dots = \frac{x^2}{1 - x^4}, \quad |x| < 1. \]

Интегрируем исходный ряд:

Рассмотрим интеграл от \( f(x) \) в пределах \( (-1, 1) \):

\[ \int \sum_{n=1}^\infty x^{4n-2} \, dx = \int \frac{x^2}{1 - x^4} \, dx. \]

Дробь \( \frac{x^2}{1 - x^4} \) упростим:

\[ \frac{x^2}{1 - x^4} = \frac{x^2}{(1 - x^2)(1 + x^2)}. \]

Выполним замену \( u = 1 - x^2 \), тогда \( du = -2x \, dx \), и интеграл принимает вид:

\[ \int \frac{x^2}{1 - x^4} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u(2 - u)} \, du. \]

Этот интеграл можно разложить методом частичных дробей:

\[ \frac{1}{u(2 - u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{2 - u}. \]

Решая уравнение для коэффициентов \( A \) и \( B \), получаем \( A = 1/2 \), \( B = 1/2 \). Тогда:

\[ \int \frac{x^2}{1 - x^4} \, dx = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \ln |u| + \frac{1}{2} \ln |2 - u| \right) + C. \]

Возвращаемся к переменной \( x \):

\[ \int \frac{x^2}{1 - x^4} \, dx = -\frac{1}{4} \ln |1 - x^2| - \frac{1}{4} \ln |1 + x^2| + C. \]

Сумма нового ряда:

\[ \frac{-\frac{1}{4} \ln |1 - x^2| - \frac{1}{4} \ln |1 + x^2| + C}. \]

Таким образом, сумма ряда \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{7} + \dots \) на интервале \( (-1, 1) \) равна: