Показать, что числовой ряд сходится через Коши и найти его сумму

Предмет: Математический анализ

Раздел: Ряды

Дан числовой ряд:
 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} 

1. Проверка сходимости по критерию Коши

Критерий Коши утверждает, что ряд \sum a_n сходится тогда и только тогда, когда для любого \varepsilon > 0 существует такой номер N, что для всех m > n \geq N выполняется неравенство:

 \left| \sum\limits_{k=n}^{m} a_k \right| < \varepsilon. 

Рассмотрим остаток ряда:  S_m - S_n = \sum\limits_{k=n}^{m} \frac{1}{2^k}. 

Так как данный ряд является геометрическим с первым членом a = \frac{1}{2^n} и знаменателем q = \frac{1}{2}, то сумма его членов от n до m вычисляется по формуле суммы конечной геометрической прогрессии:

 S_m - S_n = \frac{\frac{1}{2^n} (1 - (1/2)^{m-n+1})}{1 - 1/2} = \frac{1}{2^n} (1 - (1/2)^{m-n+1}) \cdot 2. 

Так как 0 < (1/2)^{m-n+1} < 1, то

 S_m - S_n < \frac{2}{2^n}. 

Поскольку \frac{2}{2^n} \to 0 при n \to \infty, то для любого \varepsilon > 0 можно выбрать достаточно большое N, чтобы выполнялось \frac{2}{2^n} < \varepsilon для всех n \geq N.

Следовательно, ряд удовлетворяет критерию Коши и сходится.

2. Нахождение суммы ряда

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом a = \frac{1}{2} и знаменателем q = \frac{1}{2}. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

 S = \frac{a}{1 - q}. 

Подставляя значения:

 S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1. 

Ответ: Ряд сходится, а его сумма равна 1.