Определитель матрицы

Предмет: математика, раздел: линейная алгебра (определители матриц).

Рассмотрим каждое задание по порядку:

1. \(\begin{vmatrix} 13 & 11 \\ 7 & -5 \end{vmatrix}\)

Для 2×2 матрицы определитель вычисляется по формуле: \(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\).

\[\begin{vmatrix} 13 & 11 \\ 7 & -5 \end{vmatrix} = 13 \cdot (-5) - 11 \cdot 7 = -65 - 77 = -142\]

Определитель равен -142.

2. \(\begin{vmatrix} \sin 45^\circ & \cos 60^\circ \\ \tg 135^\circ & \cos 45^\circ \end{vmatrix}\)

Сначала надо подставить значения:

\[\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \tg 135^\circ = -1, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь подставим их в матрицу:

\[\begin{vmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix}\]

И вычисляем определитель:

\[\begin{vmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot -1 = \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

Определитель равен 1.

3. \(\begin{vmatrix} \log_2 \frac{1}{8} & \log_{\frac{1}{36}} 6 \\ \log 100 & \log_4 8 \end{vmatrix}\)

Сначала упростим логарифмы:

\[\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3, \quad \log_{\frac{1}{36}} 6 = \frac{1}{\log_{36} 6} = \frac{1}{1} = 1\]

\[\log 100 = 2, \quad \log_4 8 = \frac{\log 8}{\log 4} = \frac{3 \log 2}{2 \log 2} = \frac{3}{2}\]

Теперь упростим матрицу:

\[\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 2 & \frac{3}{2} \end{vmatrix}\]

И вычислим определитель:

\[\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 2 & \frac{3}{2} \end{vmatrix} = (-3) \cdot \frac{3}{2} - 1 \cdot 2 = -\frac{9}{2} - 2 = -\frac{9}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{13}{2}\]

Определитель равен -\(\frac{13}{2}\).

4. \(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}\)

Для матрицы 3×3 определитель вычисляется по формуле:

\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

Подставим наши значения:

\[a = 2, b = 3, c = 4, d = 5, e = -2, f = 1, g = 1, h = 2, i = 3\]

И вычислим по формуле:

\[\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2((-2) \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 3(5 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 4(5 \cdot 2 - (-2) \cdot 1)\]

\[= 2(-6 - 2) - 3(15 - 1) + 4(10 + 2)\]

\[= 2(-8) - 3(14) + 4(12)\]

\[= -16 - 42 + 48 = -58 + 48 = -10\]

Определитель равен -10.

Ответы:

• 1. -142
• 2. 1
• 3. -\(\frac{13}{2}\)
• 4. -10