Определить является ли ряд абсолютным, условно сходительным, несходительным

Задание относится к математическому анализу, разделу, связанному с сходимостью рядов. Нам дан знакочередующийся ряд вида:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n - \ln(n)} \]

Необходимо определить, является ли этот ряд абсолютным, условно сходящимся или расходящимся.

Шаг 1: Проверка на абсолютную сходимость

Для того чтобы проверить, сходится ли ряд абсолютно, рассмотрим ряд из модулей членов:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{n - \ln(n)} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n - \ln(n)} \]

Для больших \(n\) заметим, что \(\ln(n)\) по сравнению с \(n\) растет медленнее, и поэтому \(n - \ln(n)\) приближенно можно записать как \(n\). Таким образом, приблизительно:

\[ \frac{1}{n - \ln(n)} \approx \frac{1}{n} \]

А ряд \(\sum \frac{1}{n}\), как известно, является гармоническим рядом и расходится. Поэтому приблизительно можно ожидать, что и исходный ряд модулей расходится как гармонический. Таким образом, ряд не сходится абсолютно.

Шаг 2: Проверка на условную сходимость

Теперь воспользуемся критерием Лейбница для знакопеременных рядов, чтобы проверить условную сходимость.

1. Рассмотрим последовательность членов по модулю:

   \[ a_n = \frac{1}{n - \ln(n)} \]

2. Предел членов ряда: проверим, стремится ли \(a_n\) к нулю при \(n \to \infty\).

   \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n - \ln(n)} = 0 \]

   Это выполняется, так как знаменатель \(n - \ln(n)\) стремится к бесконечности с ростом \(n\).
3. Убывание членов ряда: проверим, убывает ли последовательность \(a_n = \frac{1}{n - \ln(n)}\). Поскольку с увеличением \(n\) величина \(n - \ln(n)\) возрастает, следовательно, \(a_n\) будет убывать.

Все условия критерия Лейбница выполняются, поэтому ряд условно сходится.

Ответ:

Данный ряд условно сходится, но не абсолютно.