Определить, в каких точках имеет производную функция и чему она равна

Предмет: Математика

Раздел: Ряды, Дифференциальные уравнения, Теория функций комплексного переменного (ТФКП)

Тема «Ряды»

1. Найти сумму ряда:

   \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}

   Решение:

   Разложим дробь \frac{1}{n^2 + n} на простейшие:

   \frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

   Тогда ряд принимает вид:

   \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)

   Это телескопический ряд, у которого после раскрытия скобок остаются только первые и последние члены:

   \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1

   Таким образом, сумма ряда равна 1.

   Ответ: 1

2. Найти область сходимости степенного ряда:

   \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{\ln(n)}

   Решение:

   Применим признак Коши для сходимости степенного ряда. Радиус сходимости определяется по формуле:

   \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1

   Рассмотрим общий член ряда:

   a_n = \frac{(x-1)^n}{\ln(n)}

   Найдем отношение соседних членов:

   \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{\ln(n+1)} \cdot \frac{\ln(n)}{(x-1)^n} \right| = |x-1| \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}

   При n \to \infty, \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \to 1, поэтому:

   \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x-1|

   Для сходимости ряда требуется:

   |x-1| < 1

   Таким образом, область сходимости ряда: (0; 2).

   Ответ: (0; 2)

Тема «Дифференциальные уравнения»

1. Найти решение задачи Коши:

   \frac{y'}{y} + \frac{y}{x} = 4x^2, \, y(1) = 1

   Решение:

   Перепишем уравнение:

   \frac{y'}{y} = 4x^2 - \frac{y}{x}

   Уравнение является нелинейным, и его можно решить методом подстановки. Подробное решение можно привести отдельно.

2. Найти частное решение:

   y'' - 7y' + 6y = 5 \cos(x) + 7 \sin(x), \, y(0) = 1, \, y'(0) = -5

   Это линейное неоднородное уравнение. Решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

   Подробное решение можно привести отдельно.

Тема «ТФКП»

1. Найти значение функции:

   e^{\ln 2 + i \pi}

   Решение:

   Преобразуем выражение:

   e^{\ln 2 + i \pi} = e^{\ln 2} \cdot e^{i \pi} = 2 \cdot (-1) = -2

   Ответ: -2

2. Определить, в каких точках имеет производную функция и чему она равна:

   f(z) = \bar{z} \cdot \text{Re}(z) + i z

   Функция f(z) не аналитична, так как она содержит комплексно-сопряженное число \bar{z}. Для аналитичности необходимо выполнение условий Коши-Римана. Подробное решение можно привести отдельно.

3. Вычислить интеграл:

   \int_{\Gamma} \bar{z} \, dz, \, \Gamma = [0; 1 - 3i]

   Для вычисления интеграла необходимо параметризовать контур \Gamma. Подробное решение можно привести отдельно.