Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Запись с суммой и индексом \(n=1\) указывает на бесконечный ряд. Нам нужно определить, сходится ли этот ряд, используя критерий Коши. Запишем исходный ряд:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln^n(n+1)} \]
Критерий Коши для сходимости рядов гласит: ряд вида \[ \sum a_n \] сходится тогда и только тогда, когда для любого \(\epsilon > 0\) найдется такой номер \(N\), что для всех \(m, n > N\)
\[ |a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{m}| < \epsilon. \]
Однако, для применения критерия Коши часто проще прибегнуть к известным стандартным тестам на сходимость рядов — например, к признаку сравнения или интегральному признаку. Попробуем применить признак сравнения.
Запишем общий член последовательности:
\[ a_n = \frac{1}{\ln^n(n+1)}. \]
Для того чтобы использовать признак сравнения, сравним этот ряд с простым рядом вида \( \frac{1}{n^p} \), который известен по критерию сходимости. Для ряда \( \sum \frac{1}{n^p} \) известно, что он сходится, если \(p > 1\), и расходится, если \(p \leq 1\).
Теперь анализируем наше выражение. Функция \(\ln(n+1)\) растет медленнее, чем функция \(n\), но с достаточной степенью при больших \(n\), поведение последовательности \( \frac{1}{\ln^n(n+1)} \) напоминает последовательность, быстро стремящуюся к нулю. Однако скорость стремления \(a_n\) к нулю недостаточна для сходимости ряда.
Пользуемся тем фактом, что при больших значениях \(n\), \( \ln(n+1) \) возрастает медленнее, чем \(n^p\), так что наш ряд ведет себя медленнее, чем гармонический ряд \( \sum \frac{1}{n}\), который расходится. Итак, по признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом, можем заключить, что и данный ряд расходится.
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln^n(n+1)}\) расходится.