Определить, установлены или не установлены данные последовательности, используя символ коши

Данное задание относится к математике, конкретно к разделу "Ряды", тема "Сходимость рядов".

Запись с суммой и индексом $\text{(}n=1\text{)}$ указывает на бесконечный ряд. Нам нужно определить, сходится ли этот ряд, используя критерий Коши. Запишем исходный ряд:

$\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\ln }^n(n+1)}\text{]}$

Определение сходимости ряда при помощи критерия Коши

Критерий Коши для сходимости рядов гласит: ряд вида $\text{[}\sum a_n\text{]}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\text{(}ϵ>0\text{)}$ найдется такой номер $\text{(}N\text{)}$, что для всех $\text{(}m,n>N\text{)}$

$\text{[}|a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_m|<ϵ.\text{]}$

Однако, для применения критерия Коши часто проще прибегнуть к известным стандартным тестам на сходимость рядов — например, к признаку сравнения или интегральному признаку. Попробуем применить признак сравнения.

Применение признака сравнения

Запишем общий член последовательности:

$\text{[}{a}_n=\frac{1}{{\ln }^n(n+1)}.\text{]}$

Для того чтобы использовать признак сравнения, сравним этот ряд с простым рядом вида $\text{(}\frac{1}{n^p}\text{)}$, который известен по критерию сходимости. Для ряда $\text{(}\sum \frac{1}{n^p}\text{)}$ известно, что он сходится, если $\text{(}p>1\text{)}$, и расходится, если $\text{(}p\le 1\text{)}$.

Теперь анализируем наше выражение. Функция $\text{(}\ln (n+1)\text{)}$ растет медленнее, чем функция $\text{(}n\text{)}$, но с достаточной степенью при больших $\text{(}n\text{)}$, поведение последовательности $\text{(}\frac{1}{{\ln }^n(n+1)}\text{)}$ напоминает последовательность, быстро стремящуюся к нулю. Однако скорость стремления $\text{(}{a}_n\text{)}$ к нулю недостаточна для сходимости ряда.

Признак сравнения

Пользуемся тем фактом, что при больших значениях $\text{(}n\text{)}$, $\text{(}\ln (n+1)\text{)}$ возрастает медленнее, чем $\text{(}{n}^p\text{)}$, так что наш ряд ведет себя медленнее, чем гармонический ряд $\text{(}\sum \frac{1}{n}\text{)}$, который расходится. Итак, по признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом, можем заключить, что и данный ряд расходится.

Ответ:

Ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\ln }^n(n+1)}\text{)}$ расходится.