Определить существует ли степенной ряд, областью сходимости которого является интервал

Предмет: Математика

Раздел: Ряды (степенные ряды)

Задание:

Существует ли степенной ряд, областью сходимости которого является интервал \( (-\infty, k) \), где \( k = 7 \)?

Объяснение:

Рассмотрим степенной ряд общего вида:

где \( c \) — центр ряда, \( a_n \) — коэффициенты при степенях. Область сходимости степенного ряда определяется в форме интервала \( (c - R, c + R) \), где \( R \) — радиус сходимости ряда. Область сходимости степенного ряда всегда симметрична относительно центра \( c \). То есть интервал сходимости всегда имеет вид \( (c - R, c + R) \). В данном случае у нас есть область сходимости \( (-\infty, 7) \), что не является симметричным интервалом, следовательно, такая область сходимости для степенного ряда невозможна.

Вывод:

Нет, не существует степенного ряда, областью сходимости которого является интервал \( (-\infty, 7) \).