Определить сумму бесконечного ряда

Предмет: Математика
Раздел: Ряды

Нам нужно найти сумму бесконечного ряда:
\sum_{n=1}^\infty \frac{3(-1)^{n+1}}{2^n}.

Шаг 1. Анализ задачи

Данный ряд является знаменательным рядом (член ряда содержит знакочередующийся множитель (-1)^{n+1}) и имеет общий вид:
a_n = \frac{3(-1)^{n+1}}{2^n}.

Для вычисления суммы такого ряда удобно выделить его как геометрическую прогрессию с членами, зависящими от n.

Шаг 2. Преобразование ряда

Вынесем постоянный множитель 3 за знак суммы:
\sum_{n=1}^\infty \frac{3(-1)^{n+1}}{2^n} = 3 \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}.

Теперь сосредоточимся на вычислении суммы ряда:
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}.

Шаг 3. Вычисление суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим общий вид геометрической прогрессии:
S = \sum_{n=0}^\infty ar^n,
где:

• a — первый член прогрессии,
• r — знаменатель прогрессии, |r| < 1.

Для нашего ряда:

• Первый член (при n = 1):
  \frac{(-1)^{1+1}}{2^1} = \frac{1}{2},
  то есть a = \frac{1}{2}.
• Знаменатель прогрессии:
  При переходе от одного члена к следующему, знак меняется, а степень двойки увеличивается. Таким образом, r = -\frac{1}{2}.

Теперь применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:
S = \frac{a}{1 - r}.

Подставим значения:
S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}.

Шаг 4. Учет множителя

Теперь вернемся к исходному ряду:
\sum_{n=1}^\infty \frac{3(-1)^{n+1}}{2^n} = 3 \cdot S = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.

Ответ:

Сумма ряда равна:
\sum_{n=1}^\infty \frac{3(-1)^{n+1}}{2^n} = 1.