Определить, сходится ли ряд

Этот пример относится к разделу математического анализа, а именно к теме "Ряды"

Задача заключается в том, чтобы определить, сходится ли данный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!\cdot(7n^3 - 3n)}{(4n)^n \cdot n!} \]

Начнем с применения признака д'Аламбера (или критерия Лемера) для проверки сходимости ряда. Этот признак требует вычисления предела частного двух последовательных членов ряда: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Обозначим данный ряд: \[ a_n = \frac{(2n)!\cdot(7n^3 - 3n)}{(4n)^n \cdot n!} \]

Вычислим \(a_{n+1}\): \[ a_{n+1} = \frac{(2n+2)!\cdot[7(n+1)^3 - 3(n+1)]}{(4(n+1))^{n+1} \cdot (n+1)!} \]

Подставим \(a_{n+1}\) и \(a_n\) в формулу предела частного: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2n+2)!\cdot[7(n+1)^3 - 3(n+1)]}{(4(n+1))^{n+1} \cdot (n+1)!}}{\frac{(2n)!\cdot(7n^3 - 3n)}{(4n)^n \cdot n!}} \]

Разделим дроби: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!\cdot[7(n+1)^3 - 3(n+1)] \cdot (4n)^n \cdot n!}{(2n)!\cdot(7n^3 - 3n) \cdot (4(n+1))^{n+1} \cdot (n+1)!} \]

Упростим это выражение: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!\cdot[7(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 3n - 3] \cdot (4n)^n \cdot n!}{(2n)!\cdot(7n^3 - 3n) \cdot 4^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot (n+1) \cdot n!} \]

Определим асимптотическое поведение выражения. Учитываем ведущие члены в числителе и знаменателе. Диагональные (основные) множители будут переходить к доминирующим: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+2} \cdot n^{n+3}(1+o(1))}{4^{n+1} \cdot (4n) n^n} \]

Выразим и упростим этот предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+2}}{4^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+2}}{2^{2n+2}} = \lim_{n \to \infty} 1 = \infty \]

Итак, мы приходим к выводу, что ряд расходится, так как \( L > 1 \).

Таким образом, ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!\cdot(7n^3 - 3n)}{(4n)^n \cdot n!} \] расходится.