Определить, сходится ли этот ряд

Это задание относится к разделу "Математика", а конкретно к теме "Ряды", под теме "Сходимость знакопеременных рядов".

Рассмотрим данный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n \ln \ln n} \]

Чтобы определить, сходится ли этот ряд, мы можем применить признак Лейбница:

Признак Лейбница утверждает, что знакопеременный ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n\) сходится, если:

1. Последовательность \(b_n\) монотонно убывает.
2. \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\).

Пусть \(b_n = \frac{1}{n \ln n \ln \ln n}\). Проверим два условия:

1. Монотонность последовательности \(b_n\):
   • Рассмотрим производную функции \( f(n) = n \ln n \ln \ln n \) по \(n\). Если производная положительная, то функция монотонно возрастает, а значит последовательность \(b_n = \frac{1}{f(n)}\) монотонно убывает.
   • Вычислим производную: \[ f'(n) = \frac{d}{dn} [n \ln n \ln \ln n] \]
   • Используем правило Лейбница: \[ f'(n) = \ln n \ln \ln n + \left( n \cdot \frac{1}{n} \right) \cdot \ln \ln n + n \cdot \ln n \cdot \frac{1}{\ln n \cdot \ln n} \cdot \frac{1}{n} \]
   • Это упрощается до: \[ f'(n) = \ln n \ln \ln n + \ln \ln n + \frac{1}{n \ln \ln n} \]
   • Все слагаемые положительные для достаточно большого \( n \), следовательно, производная положительна и \( f(n) \) возрастает, что означает, что \( b_n \) убывает.
2. Предел \(\lim_{n \to \infty} b_n\):
   • \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n \ln \ln n} = 0 \]
   • Это следует из поведения каждого множителя: \(n \to \infty\), \(\ln n \to \infty\), и \(\ln \ln n \to \infty\).

Так как оба условия выполнены, можно заключить, что ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n \ln \ln n} \] сходится по признаку Лейбница.

Итак, данный знакопеременный ряд сходится.