Определить сходимость ряда

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды)

Необходимо определить сходимость ряда:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln(3n-1)}}.

Для этого применим критерии сходимости, такие как признак сравнения или интегральный признак.

Шаг 1: Исследуем общий член ряда

Обозначим общий член ряда как: a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(3n-1)}}.

Чтобы понять поведение a_n при больших n, заметим, что:

• Логарифм \ln(3n-1) растет медленно, а n находится в знаменателе. Это говорит о том, что общий член убывает, но медленно.

Шаг 2: Применение признака сравнения

Для сравнения используем упрощенный ряд: \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}, так как при больших n логарифм \ln(3n-1) асимптотически эквивалентен \ln n.

Теперь исследуем сходимость ряда: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}.

Шаг 3: Применение интегрального признака

Рассмотрим интеграл: \int_{2}^\infty \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \, dx.

Сделаем замену: t = \ln x, \, dt = \frac{1}{x} dx.

Тогда интеграл преобразуется: \int \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{\ln x} + C.

На бесконечности \sqrt{\ln x} \to \infty, следовательно, интеграл расходится. Это означает, что ряд: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} также расходится.

Шаг 4: Вывод

Так как ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln(3n-1)}} асимптотически эквивалентен расходящемуся ряду \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}, исходный ряд расходится.