Определить радиус сходимости ряда.

Пример 1:

Определить радиус сходимости ряда.

Решение от преподавателя:

Общий член ряда 

Радиус сходимости

Пример 2:

Определить радиус и область сходимости степенных рядов.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найдите радиус, интервал и промежуток сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Определить радиус и область сходимости степенных рядов.

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R - радиус сходимости. Вычислим его:

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-2;2)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 2
Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = 2 - точка расходимости.
При x = -2
получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, и он расходится.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-2;2).

Пример 5:

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда: 

Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение от преподавателя: