Определить область сходимости степенного ряда

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (Степенные ряды)

Задание:
Определить область сходимости степенного ряда:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n x^n}{\sqrt{2^n}} 

Шаг 1: Запишем общий член ряда

Общий член ряда:

 a_n = \frac{3^n x^n}{\sqrt{2^n}} = x^n \cdot \frac{3^n}{\sqrt{2^n}} = x^n \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^n 

Таким образом, ряд можно переписать как:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3x}{\sqrt{2}}\right)^n 

Это геометрическая прогрессия, начиная с n = 1, с членами:

 \left(\frac{3x}{\sqrt{2}}\right)^n 

Шаг 2: Условие сходимости геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда модуль знаменателя прогрессии (в нашем случае — основания степени) меньше 1:

 \left| \frac{3x}{\sqrt{2}} \right| < 1 

Решим это неравенство:

 \left| x \right| < \frac{\sqrt{2}}{3} 

Шаг 3: Найдём границы и исследуем сходимость на них

Радиус сходимости:

 R = \frac{\sqrt{2}}{3} 

Теперь исследуем сходимость на концах интервала:

1. Пусть x = \frac{\sqrt{2}}{3}:

   Тогда общий член:

    \left(\frac{3x}{\sqrt{2}}\right)^n = \left(\frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}}\right)^n = 1^n = 1 

   Получаем ряд:

    \sum_{n=1}^{\infty} 1 

   — расходится.

2. Пусть x = -\frac{\sqrt{2}}{3}:

   Тогда общий член:

    \left(\frac{3x}{\sqrt{2}}\right)^n = (-1)^n 

   Получаем ряд:

    \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n 

   — также расходится, так как члены ряда не стремятся к нулю.

Ответ:

Область сходимости ряда:

 \left( -\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3} \right) 

Ряд сходится только внутри интервала, на концах расходится.