Определить область сходимости этого степенного ряда

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (Степенные ряды)

У нас дан степенной ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n x^n}{\sqrt{2^n}} 

Наша задача — определить область сходимости этого степенного ряда.

Шаг 1: Приведение ряда к стандартному виду

Рассмотрим общий член ряда:

 a_n = \frac{3^n x^n}{\sqrt{2^n}} = x^n \cdot \frac{3^n}{\sqrt{2^n}} = x^n \cdot \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^n 

Таким образом, ряд принимает вид:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{\sqrt{2}} x \right)^n 

Это геометрическая прогрессия с первым членом a_1 = \left( \frac{3}{\sqrt{2}} x \right) и знаменателем q = \left( \frac{3}{\sqrt{2}} x \right).

Шаг 2: Условие сходимости геометрического ряда

Геометрический ряд \sum q^n сходится тогда и только тогда, когда |q| < 1.

В нашем случае:

 \left| \frac{3}{\sqrt{2}} x \right| < 1 

Решим это неравенство:

 |x| < \frac{\sqrt{2}}{3} 

Шаг 3: Радиус и область сходимости

Это означает, что радиус сходимости:

 R = \frac{\sqrt{2}}{3} 

А область сходимости — это интервал:

 x \in \left( -\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3} \right) 

Шаг 4: Проверка сходимости на границах

Проверим поведение ряда на концах интервала:

a) При x = \frac{\sqrt{2}}{3}

Подставим в общий член:

 \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \right)^n = 1^n = 1 

Получаем ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} 1 

— расходится.

b) При x = -\frac{\sqrt{2}}{3}

 \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} \right) \right)^n = (-1)^n 

Получаем ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n 

— также расходится (члены не стремятся к нулю).

Ответ:

Область сходимости ряда:

 x \in \left( -\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3} \right) 

Радиус сходимости:

 R = \frac{\sqrt{2}}{3}