Предмет: Математика

Раздел: Ряды (или Теория рядов)

Задача: Проверить сходимость данных бесконечных рядов:

• $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)}^n\text{)}$
• $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n}{n^n}\text{)}$
• $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\sqrt{n}}\text{)}$

Рассмотрим каждый ряд отдельно:

1. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)}^n\text{)}$

Для анализа этого ряда применим признак корня $\text{(}\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}\text{)}$, где $\text{(}{a}_n={\left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)}^n\text{)}$. Посчитаем $\text{(}\rho \text{)}$:

• $\text{(}{a}_n={\left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)}^n\text{)}$
• $\text{(}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{{\left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)}^n}=\frac{9n+1}{17+6n}\text{)}$

Теперь найдём предел:

• $\text{(}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{9n+1}{17+6n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{9+\frac{1}{n}}{6+\frac{17}{n}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\text{)}$

Поскольку $\text{(}\rho =\frac{3}{2}\text{)}$, а это значение больше единицы, ряд расходится.

2. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n}{n^n}\text{)}$

Применим признак корня:

• $\text{(}\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{3^n}{n^n}}=\frac{3}{n}\text{)}$

Посчитаем предел:

• $\text{(}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{n}=0\text{)}$

Поскольку $\text{(}\rho =0\text{)}$, что меньше 1, ряд сходится.

3. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\sqrt{n}}\text{)}$

Для анализа этого ряда применим признак сравнения с рядом $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{3/2}}\text{)}$.

Рассмотрим ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{3/2}}\text{)}$ :

• $\text{(}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{3/2}}dx\text{)}$

Вычислим несобственный интеграл:

• $\text{(}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-3/2}dx={[-2x^{-1/2}]}_1^{\mathrm{\infty }}=2\text{)}$

Поскольку этот интеграл сходится, сходится и ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{3/2}}\text{)}$. Таким образом, ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\sqrt{n}}\text{)}$ тоже сходится.

Ответ: г) 1 и 2.