Предмет: Математика

Раздел: Ряды (или Теория рядов)

Задача: Проверить сходимость данных бесконечных рядов:

• \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)^n\)
• \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^n}\)
• \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}\)

Рассмотрим каждый ряд отдельно:

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)^n\)

Для анализа этого ряда применим признак корня \(\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\), где \(a_n = \left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)^n\). Посчитаем \(\rho\):

• \( a_n = \left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)^n \)
• \( \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\left(\frac{9n+1}{17+6n}\right)^n} = \frac{9n+1}{17+6n} \)

Теперь найдём предел:

• \( \lim_{n \to \infty} \frac{9n+1}{17+6n} = \lim_{n \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{n}}{6 + \frac{17}{n}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)

Поскольку \( \rho = \frac{3}{2} \), а это значение больше единицы, ряд расходится.

2. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^n} \)

Применим признак корня:

• \( \rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3^n}{n^n}} = \frac{3}{n} \)

Посчитаем предел:

• \( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0 \)

Поскольку \( \rho = 0 \), что меньше 1, ряд сходится.

3. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} \)

Для анализа этого ряда применим признак сравнения с рядом \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \).

Рассмотрим ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \) :

• \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx \)

Вычислим несобственный интеграл:

• \( \int_{1}^{\infty} x^{-3/2} \, dx = \left[ -2x^{-1/2} \right]_{1}^{\infty} = 2 \)

Поскольку этот интеграл сходится, сходится и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \). Таким образом, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} \) тоже сходится.

Ответ: г) 1 и 2.