Определение числового ряда

Задание относится к предмету "Высшая математика".

Мы рассмотрим задание под номером 7, которое требует определения числового ряда. Задание: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n \] Находим сумму бесконечного геометрического ряда. Общий вид геометрического ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \] Где \( a \) — первый член ряда, \( r \) — знаменатель прогрессии (отношение последовательных членов).

Перепишем ряд в виде, соответствующем стандартному виду геометрического ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n = \left( \frac{3}{5} \right) \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n \] Здесь \( a = \frac{3}{5} \), \( r = \frac{3}{5} \)

Для геометрического ряда условия сходимости: \( |r| < 1 \), что здесь выполняется, поскольку \( |\frac{3}{5}| < 1 \). Сумма бесконечного геометрического ряда: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] Подставляем значения: \[ S = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \]

Следовательно, сумма числового ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right)^n = \frac{3}{2} \]