Нужно определить, сходится ли ряд

Это задание относится к высшей математике, конкретно к разделу анализа, исследованию рядов на сходимость.

Нам нужно определить, схо́дится ли данный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^n} \times \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{n^2} \right) \] Давайте начнем с исследования степени выражения \(\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{n^2}\).

1. Рассмотрим выражение \(\frac{n-1}{n+1}\): \[ \frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1-2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1} \] По мере увеличения \(n\), это отношение становится очень близким к 1.

2. Теперь возьмем \( \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{n^2} \): \[ \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right)^{n^2} \] Для анализа этого выражения рассмотрим предел, используя натуральный логарифм: \[ \ln \left( \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right)^{n^2} \right) = n^2 \ln \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right) \] Мы знаем, что \(\ln (1 - x) \approx -x\) при \(x \to 0\), таким образом: \[ n^2 \ln \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right) \approx n^2 \left( -\frac{2}{n+1} \right) = -\frac{2n^2}{n+1} \] При \(n \to \infty\), \(-\frac{2n^2}{n+1} \to -2n\), и экспонента этого выражения: \[ \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right)^{n^2} \approx e^{-2n} \] Таким образом, в нашем ряде: \[ \left( \frac{1}{2^n} \times e^{-2n} \right) \]

3. Исследуем полученное выражение на сходимость: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e^{-2n}}{2^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \left(\frac{e^{-2}}{2}\right)^n \right) \] Так как \(\frac{e^{-2}}{2} = \frac{1}{2e^2}\), где \(2e^2 > 1\), следовательно, \(\left(\frac{1}{2e^2}\right)^n \to 0\) при \(n \to \infty\). Таким образом, ряд сходится.