Нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость, то есть выяснить, сходится ли ряд из модулей его членов

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (исследование на абсолютную сходимость)

Нам дана числовая бесконечная сумма (ряд):

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{1 + 2^{n^2}} 

Нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость, то есть выяснить, сходится ли ряд из модулей его членов:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{2^n}{1 + 2^{n^2}} \right| 

Так как все члены положительные, модуль можно убрать:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{1 + 2^{n^2}} 

Шаг 1: Сравнение с эталонным рядом

Рассмотрим поведение знаменателя при больших [n]. Поскольку [2^{n^2}] растёт гораздо быстрее, чем [1], то:

 1 + 2^{n^2} \sim 2^{n^2}, \quad \text{при } n \to \infty 

Тогда:

 \frac{2^n}{1 + 2^{n^2}} \sim \frac{2^n}{2^{n^2}} = 2^{n - n^2} = 2^{-n(n - 1)} 

Это убывает очень быстро, так как [n(n - 1)] — квадратичная функция, а экспонента с отрицательным квадратичным показателем стремится к нулю быстрее любой геометрической прогрессии.

Шаг 2: Признак сравнения

Рассмотрим эталонный ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n(n-1)} 

Поскольку [2^{-n(n-1)}] — члены положительные и стремятся к нулю очень быстро, этот ряд сходится (как экспоненциально убывающий ряд).

А из асимптотического равенства:

 \frac{2^n}{1 + 2^{n^2}} \leq C \cdot 2^{-n(n-1)} \quad \text{при больших } n 

где [C > 0] — некоторая константа, то по признаку сравнения исходный ряд также сходится абсолютно.

✅ Ответ:

Ряд

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{1 + 2^{n^2}} 

абсолютно сходится.