Необходимо исследовать сходимость ряда

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Необходимо исследовать сходимость ряда:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2}{4^n (2n)!}

Решение:

Для исследования сходимости ряда воспользуемся признаком д’Аламбера. Рассмотрим общий член ряда:

a_n = \frac{(n+1)^2}{4^n (2n)!}

1. Признак д’Аламбера:

Найдем предел отношения соседних членов ряда:

L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}

Подставим выражение для a_n:

 a_{n+1} = \frac{(n+2)^2}{4^{n+1} (2n+2)!} 

Тогда:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+2)^2}{4^{n+1} (2n+2)!}}{\frac{(n+1)^2}{4^n (2n)!}} = \frac{(n+2)^2}{4^{n+1} (2n+2)!} \cdot \frac{4^n (2n)!}{(n+1)^2}. 

Упростим выражение:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+2)^2}{4 \cdot (n+1)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}. 

Сократим факториалы:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+2)^2}{4 \cdot (n+1)^2} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. 

2. Предел при n \to \infty:

Рассмотрим асимптотику каждого множителя. При n \to \infty:

• \frac{(n+2)^2}{(n+1)^2} \to 1,
• \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \to \frac{1}{4n^2}.

Следовательно:

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{4}. 

3. Вывод по признаку д’Аламбера:

Так как L = \frac{1}{4} < 1, ряд сходится.

Ответ:

Ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2}{4^n (2n)!} сходится.