Найти все значения корня и изобразить их на чертеже

Данная задача относится к разделу комплексных чисел из предмета алгебры. Требуется найти все значения кубического корня из комплексного числа \( \frac{i}{8} \), где \( i \) — это мнимая единица (\( i = \sqrt{-1} \)).

Шаг 1: Приведение числа к показательной форме

Комплексное число \( z = \frac{i}{8} \) можно записать в показательной форме. Для этого выражаем его в виде радиуса и угла в полярной системе координат.

1. Представим число \( z = \frac{i}{8} \). Это чисто мнимое число, и его можно записать как \( z = 0 + \frac{1}{8}i \).
2. Модуль числа \( z \): \[ |z| = \left| \frac{i}{8} \right| = \frac{1}{8}. \]
3. Аргумент числа \( z \) (угол с положительным направлением оси \( x \) на комплексной плоскости): \[ \arg z = \frac{\pi}{2}, \] так как \( i \) на комплексной плоскости находится под углом \( \frac{\pi}{2} \) радиан относительно положительного направления оси \( x \).

Теперь запись числа \( z \) в показательной форме (формула Эйлера):

\[ z = \frac{1}{8} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{8} e^{i \frac{\pi}{2}}. \]

Шаг 2: Нахождение кубического корня

Чтобы найти все значения кубического корня, пользуемся формулой Радиксена для извлечения корней из комплексных чисел:

\[ w_k = \sqrt[3]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right), \]

где \( r \) — модуль числа, \( \varphi \) — аргумент числа, \( n \) — степень корня, а \( k \) — 0, 1, 2 (для кубических корней).

В нашем случае:

• \( r = \frac{1}{8} \),
• \( \varphi = \frac{\pi}{2} \),
• \( n = 3 \),
• \( k = 0, 1, 2 \).

Вычисляем модуль кубического корня:

\[ \sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}. \]

Теперь для каждого значения \( k \) находим аргументы.

1. Для \( k = 0 \):

   \[ \varphi_0 = \frac{\frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{6}. \]

   Тогда решение:

   \[ w_0 = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} + i \cdot \frac{1}{4}. \]

2. Для \( k = 1 \):

   \[ \varphi_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \]

   Тогда решение:

   \[ w_1 = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + i \cdot \frac{1}{4}. \]

3. Для \( k = 2 \):

   \[ \varphi_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}. \]

   Тогда решение:

   \[ w_2 = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - i \cdot 1 \right) = - \frac{i}{2}. \]

Ответ

Все значения кубического корня:

\[ w_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} + i \cdot \frac{1}{4}, \quad w_1 = -\frac{\sqrt{3}}{4} + i \cdot \frac{1}{4}, \quad w_2 = - \frac{i}{2}. \]

Шаг 3: Построение на чертеже

На комплексной плоскости каждое решение \( w_0, w_1, w_2 \) будет представлено точками:

• \( w_0 \) находится в первой четверти (\( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4} \)),
• \( w_1 \) находится во второй четверти (\( -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4} \)),
• \( w_2 \) находится на отрицательной оси мнимых чисел (\( 0, -\frac{1}{2} \)).

Это будут три точки, равностоящие друг от друга на окружности с радиусом \( \frac{1}{2} \) в полярной системе координат.