Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением задачи Коши данного дифференциального уравнения

Предмет: Математика (дифференциальные уравнения).

Раздел: Задачи Коши, степенные ряды.

Задание: Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции \( y = f(x) \), являющейся решением задачи Коши данного дифференциального уравнения \( y' = x^2 + e^{xy^2} \), \( y(0) = -1 \).

Решение:

Чтобы найти коэффициенты разложения в степенной ряд решения задачи Коши, представим \( y \) в виде степенного ряда:

\[ y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n. \]

Так как \( y(0) = -1 \), то \( a_0 = -1 \).

Далее, дифференцируем этот ряд:

\[ y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}. \]

Подставим этот ряд и исходный ряд для \( y \) в дифференциальное уравнение:

\[ \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} = x^2 + e^{xy^2}. \]

Разложим \( e^{xy^2} \) в степенной ряд:

\[ e^{xy^2} = 1 + xy^2 + \frac{(xy^2)^2}{2!} + \frac{(xy^2)^3}{3!} + \dots \]

Так как \( y = -1 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \), то \( y^2 \approx 1 \) для первых членов:

\[ e^{xy^2} \approx 1 + x(-1)^2 + x^2(\dots) \approx 1 + x. \]

Теперь у нас есть:

\[ \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} = x^2 + (1 + x) = 1 + x + x^2. \]

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) с обеих сторон:

1. Для \( x^0 \): \[ n a_n = 0 \Rightarrow a_1 = 1. \]
2. Для \( x^1 \): \( a_2 = 1 \).
3. Для \( x^2 \): \( a_3 = 1 = 1 \).

Таким образом, три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд:

\[ y = -1 + x + x^2 + x^3 + \dots. \]

Получаем:

\[ a_0 = -1, \, a_1 = 1, \, a_2 = 1. \]

Окончательный ответ:

Три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции \( y = f(x) \):

\[ -1 + x + x^2. \]