Найти три первых не равных нулю члена

Данное задание относится к предмету "математика", раздел "математический анализ", и конкретно к теме разложения функции в ряд Тейлора.

Необходимо найти несколько первых членов разложения функции \( f(x) = \sqrt{x} \) в степенной ряд по степеням \( x - 1 \). Разложим функцию \( f(x) \) в ряд Тейлора в окрестности точки \( x = 1 \): \[ f(x) = \sqrt{x} \]

Рассмотрим \( f(x) \) как \( (x)^{1/2} \). При \( x_0 = 1 \), функция и её производные в точке \( x_0 \) следующие:

1. \( f(1) = \sqrt{1} = 1 \)
2. Первая производная \( f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \)
3. Вторая производная \( f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} \)
4. Третья производная \( f'''(x) = \frac{3}{8} x^{-5/2} \)

Теперь подставим \( x = 1 \):

1. \( f(1) = 1 \)
2. \( f'(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^{-1/2} = \frac{1}{2} \)
3. \( f''(1) = -\frac{1}{4} \cdot 1^{-3/2} = -\frac{1}{4} \)
4. \( f'''(1) = \frac{3}{8} \cdot 1^{-5/2} = \frac{3}{8} \)

Ряд Тейлора для функции \( f(x) = \sqrt{x} \) около точки \( x = 1 \) будет иметь вид: \[ f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + \cdots \]

Подставляем значения производных: \[ \sqrt{x} \approx 1 + \frac{1}{2} (x-1) + \frac{-1/4}{2!} (x-1)^2 + \cdots = 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 + \cdots \]

Правильный ответ: \[ 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 + \cdots \]

Ответ (d).