Найти сумму ряда с n=1 и проверить его сходимость посчитать сумму первых 10-20 членов для приближенного значения

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, теория рядов

Дана сумма ряда:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n(n-2)(n-5)}

1. Проверка сходимости ряда

Для проверки сходимости ряда рассмотрим общий член:

a_n = \frac{2n+1}{n(n-2)(n-5)}

При больших n можно приблизить:

n-2 \approx n, \quad n-5 \approx n

Тогда:

a_n \approx \frac{2n}{n \cdot n \cdot n} = \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}

Ряд с общим членом порядка \frac{1}{n^2} сходится (по признаку сравнения с рядом \sum \frac{1}{n^2}, который сходится).

Значит, исходный ряд сходится.

2. Нахождение суммы ряда

Для нахождения суммы разложим общий член в простые дроби:

 \frac{2n+1}{n(n-2)(n-5)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n-2} + \frac{C}{n-5} 

Умножим обе части на знаменатель:

2n+1 = A(n-2)(n-5) + B n (n-5) + C n (n-2)

Раскроем скобки:

 2n+1 = A(n^2 - 7n + 10) + B(n^2 - 5n) + C(n^2 - 2n) \end{formula> Сгруппируем по степеням n: 2n + 1 = (A + B + C) n^2 + (-7A - 5B - 2C) n + 10 A 

Приравняем коэффициенты:

• При n^2: A + B + C = 0
• При n: -7A - 5B - 2C = 2
• Свободный член: 10 A = 1

Отсюда:

A = \frac{1}{10}

Подставим в первое уравнение:

\frac{1}{10} + B + C = 0 \implies B + C = -\frac{1}{10}

Во второе:

-7 \cdot \frac{1}{10} - 5B - 2C = 2 \implies -\frac{7}{10} - 5B - 2C = 2

Переносим:

-5B - 2C = 2 + \frac{7}{10} = \frac{27}{10}

Система:

 \begin{cases} B + C = -\frac{1}{10} \ -5B - 2C = \frac{27}{10} \end{cases} 

Выразим C = -\frac{1}{10} - B и подставим во второе:

 -5B - 2\left(-\frac{1}{10} - B\right) = \frac{27}{10} \ -5B + \frac{2}{10} + 2B = \frac{27}{10} \ -3B + \frac{1}{5} = \frac{27}{10} \ -3B = \frac{27}{10} - \frac{2}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \ B = -\frac{5}{6} 

Тогда:

 C = -\frac{1}{10} - \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{1}{10} + \frac{5}{6} = \frac{-3 + 25}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15} 

3. Итоговое разложение:

 \frac{2n+1}{n(n-2)(n-5)} = \frac{1}{10n} - \frac{5}{6(n-2)} + \frac{11}{15(n-5)} 

4. Суммирование ряда

Рассмотрим частичную сумму от 6 до N (начинаем с n=6, т.к. при n=1,2,5 знаменатель обращается в 0 или нет смысла):

Пусть:

S_N = \sum_{n=6}^N \frac{2n+1}{n(n-2)(n-5)} = \sum_{n=6}^N \left( \frac{1}{10n} - \frac{5}{6(n-2)} + \frac{11}{15(n-5)} \right)

Разобьем сумму:

 S_N = \frac{1}{10} \sum_{n=6}^N \frac{1}{n} - \frac{5}{6} \sum_{n=6}^N \frac{1}{n-2} + \frac{11}{15} \sum_{n=6}^N \frac{1}{n-5} 

Переобозначим индексы сумм:

• \sum_{n=6}^N \frac{1}{n} = H_N - H_5, где H_k = \sum_{m=1}^k \frac{1}{m} — гармонический ряд.

• \sum_{n=6}^N \frac{1}{n-2} = \sum_{m=4}^{N-2} \frac{1}{m} = H_{N-2} - H_3

• \sum_{n=6}^N \frac{1}{n-5} = \sum_{m=1}^{N-5} \frac{1}{m} = H_{N-5}

Тогда:

 S_N = \frac{1}{10}(H_N - H_5) - \frac{5}{6}(H_{N-2} - H_3) + \frac{11}{15} H_{N-5} 

Раскроем скобки:

 S_N = \frac{1}{10} H_N - \frac{1}{10} H_5 - \frac{5}{6} H_{N-2} + \frac{5}{6} H_3 + \frac{11}{15} H_{N-5} 

5. Предел суммы при N \to \infty

Гармонические числа ведут себя как:

H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \dots, где \gamma — постоянная Эйлера-Маскерони.

Подставим асимптотические выражения:

 S_N \approx \frac{1}{10} (\ln N + \gamma) - \frac{5}{6} (\ln (N-2) + \gamma) + \frac{11}{15} (\ln (N-5) + \gamma) + \text{константы} 

Соберем логарифмы:

 \ln N^{\frac{1}{10}} - \ln (N-2)^{\frac{5}{6}} + \ln (N-5)^{\frac{11}{15}} = \ln \left( \frac{N^{\frac{1}{10}} (N-5)^{\frac{11}{15}}}{(N-2)^{\frac{5}{6}}} \right) 

Для больших N:

 \frac{N^{\frac{1}{10}} (N-5)^{\frac{11}{15}}}{(N-2)^{\frac{5}{6}}} \approx \frac{N^{\frac{1}{10}} N^{\frac{11}{15}}}{N^{\frac{5}{6}}} = N^{\frac{1}{10} + \frac{11}{15} - \frac{5}{6}} 

Посчитаем показатель степени:

 \frac{1}{10} + \frac{11}{15} - \frac{5}{6} = \frac{3}{30} + \frac{22}{30} - \frac{25}{30} = 0 

Значит логарифмы стремятся к \ln 1 = 0, а значит сумма сходится к конечному значению.

6. Приближенное вычисление суммы первых 10-20 членов

Посчитаем сумму первых 20 членов (начиная с n=6, т.к. при n=1,2,5 выражение не определено):

Используем формулу:

 S_{20} = \frac{1}{10} (H_{20} - H_5) - \frac{5}{6} (H_{18} - H_3) + \frac{11}{15} H_{15} 

Вычислим гармонические числа (округленно):

• H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1.8333
• H_5 = H_3 + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1.8333 + 0.25 + 0.2 = 2.2833
• H_{15} \approx 3.3182
• H_{18} \approx 3.4951
• H_{20} \approx 3.5977

Подставим:

 S_{20} = \frac{1}{10} (3.5977 - 2.2833) - \frac{5}{6} (3.4951 - 1.8333) + \frac{11}{15} \cdot 3.3182 

Вычислим:

 = \frac{1}{10} \cdot 1.3144 - \frac{5}{6} \cdot 1.6618 + \frac{11}{15} \cdot 3.3182 = 0.13144 - 1.3848 + 2.435 

Суммируем:

 S_{20} \approx 0.13144 - 1.3848 + 2.435 = 1.1816 

Ответ:

• Ряд сходится.
• Сумма ряда равна конечному числу, которое можно выразить через гармонические числа по формуле:

 S = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=6}^N \frac{2n+1}{n(n-2)(n-5)} = \lim_{N \to \infty} \left[ \frac{1}{10}(H_N - H_5) - \frac{5}{6}(H_{N-2} - H_3) + \frac{11}{15} H_{N-5} \right] 

• Приближённое значение суммы первых 20 членов (с n=6) равно примерно 1.18.