Найти сумму ряда от n=0 до бесконечности 4/((n+2)(n+3))

Определение предмета и раздела:

Данное задание связано с математикой, а конкретнее с математическим анализом, разделом теории рядов. Рассматривается задача нахождения суммы бесконечного ряда вида: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{(n+2)(n+3)} \]

Решение:

Для нахождения суммы этого ряда нужно для начала упростить выражение общего члена ряда \(\frac{4}{(n+2)(n+3)}\). Это выражение можно разложить в виде суммы простых дробей с помощью метода разложения на простейшие дроби.

Шаг 1: Разложение на простейшие дроби

Запишем дробь следующим образом: \[ \frac{4}{(n+2)(n+3)} = \frac{A}{n+2} + \frac{B}{n+3} \]

Найдем коэффициенты \(A\) и \(B\). Для этого приведем правую сторону к общему знаменателю: \[ \frac{A}{n+2} + \frac{B}{n+3} = \frac{A(n+3) + B(n+2)}{(n+2)(n+3)} \]

Теперь приравняем числитель этой дроби к числителю исходного выражения: \[ A(n+3) + B(n+2) = 4 \]

Раскроем скобки: \[ A(n) + 3A + B(n) + 2B = 4 \]

Сгруппируем члены с \(n\) и константы: \[ (A + B)n + (3A + 2B) = 4 \]

Теперь приравниваем коэффициенты при \(n\) и константы:

1. \(A + B = 0\)
2. \(3A + 2B = 4\)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения: \[ A = -B \]

Подставим это в \(3A + 2B = 4\):

\[ 3(-B) + 2B = 4 \]

\[ -3B + 2B = 4 \]

\[ -B = 4 \]

\[ B = -4 \]

Теперь подставим значение \(B = -4\) в \(A = -B\):

\[ A = 4 \]

Итак, разложение на простейшие дроби выглядит следующим образом: \[ \frac{4}{(n+2)(n+3)} = \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+3} \]

Шаг 2: Запись суммы ряда

Теперь подставим это разложение в сумму ряда: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{(n+2)(n+3)} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+3} \right) \]

Этот ряд является телескопическим, то есть при разложении многие слагаемые сокращаются. Запишем несколько первых членов: \[ \left( \frac{4}{2} - \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{4}{3} - \frac{4}{4} \right) + \left( \frac{4}{4} - \frac{4}{5} \right) + \dots \]

Как видим, многие слагаемые сокращаются, и результатом остается только несколько первых несокращающихся членов: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{(n+2)(n+3)} = 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \]

Ответ:

\[ Сумма ряда равна 2. \]