Найти сумму ряда от n=0 до бесконечности 4/((n+2)(n+3))

Определение предмета и раздела:

Данное задание связано с математикой, а конкретнее с математическим анализом, разделом теории рядов. Рассматривается задача нахождения суммы бесконечного ряда вида: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{(n+2)(n+3)}\text{]}$

Решение:

Для нахождения суммы этого ряда нужно для начала упростить выражение общего члена ряда $\text{(}\frac{4}{(n+2)(n+3)}\text{)}$. Это выражение можно разложить в виде суммы простых дробей с помощью метода разложения на простейшие дроби.

Шаг 1: Разложение на простейшие дроби

Запишем дробь следующим образом: $\text{[}\frac{4}{(n+2)(n+3)}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+3}\text{]}$

Найдем коэффициенты $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$. Для этого приведем правую сторону к общему знаменателю: $\text{[}\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+3}=\frac{A(n+3)+B(n+2)}{(n+2)(n+3)}\text{]}$

Теперь приравняем числитель этой дроби к числителю исходного выражения: $\text{[}A(n+3)+B(n+2)=4\text{]}$

Раскроем скобки: $\text{[}A(n)+3A+B(n)+2B=4\text{]}$

Сгруппируем члены с $\text{(}n\text{)}$ и константы: $\text{[}(A+B)n+(3A+2B)=4\text{]}$

Теперь приравниваем коэффициенты при $\text{(}n\text{)}$ и константы:

1. $\text{(}A+B=0\text{)}$
2. $\text{(}3A+2B=4\text{)}$

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения: $\text{[}A=-B\text{]}$

Подставим это в $\text{(}3A+2B=4\text{)}$:

$\text{[}3(-B)+2B=4\text{]}$

$\text{[}-3B+2B=4\text{]}$

$\text{[}-B=4\text{]}$

$\text{[}B=-4\text{]}$

Теперь подставим значение $\text{(}B=-4\text{)}$ в $\text{(}A=-B\text{)}$:

$\text{[}A=4\text{]}$

Итак, разложение на простейшие дроби выглядит следующим образом: $\text{[}\frac{4}{(n+2)(n+3)}=\frac{4}{n+2}-\frac{4}{n+3}\text{]}$

Шаг 2: Запись суммы ряда

Теперь подставим это разложение в сумму ряда: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{(n+2)(n+3)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{4}{n+2}-\frac{4}{n+3})\text{]}$

Этот ряд является телескопическим, то есть при разложении многие слагаемые сокращаются. Запишем несколько первых членов: $\text{[}(\frac{4}{2}-\frac{4}{3})+(\frac{4}{3}-\frac{4}{4})+(\frac{4}{4}-\frac{4}{5})+\dots \text{]}$

Как видим, многие слагаемые сокращаются, и результатом остается только несколько первых несокращающихся членов: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{(n+2)(n+3)}=4\left(\frac{1}{2}\right)=2\text{]}$

Ответ:

$\text{[}Суммарядаравна2.\text{]}$