Найти сумму бесконечного ряда

Данное задание относится к разделу высшей математики, а точнее к теории рядов.

Нам необходимо найти сумму бесконечного ряда: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+k)(n+1)} \) где \( k = 7 \).

Итак, подставим \( k = 7 \) в ряд: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+7)(n+1)} \)

Начнем с упрощения данного выражения с помощью метода разложения в простые дроби. Рассмотрим дробь: \( \frac{3}{(n+7)(n+1)} \)

Можно разложить на два слагаемых в следующем виде: \( \frac{3}{(n+7)(n+1)} = \frac{A}{n+7} + \frac{B}{n+1} \)

Найдем коэффициенты \( A \) и \( B \). Приведем правую часть к общему знаменателю: \( \frac{A}{n+7} + \frac{B}{n+1} = \frac{A(n+1) + B(n+7)}{(n+7)(n+1)} \)

Теперь приравниваем числители: \( 3 = A(n+1) + B(n+7) \)

Раскроем скобки: \( 3 = A n + A + B n + 7B \)

\( 3 = (A + B)n + (A + 7B) \)

Рассматриваем два уравнения. Первое относительно \( n \): \( A + B = 0 \)

\( A = -B \)

Второе уравнение для свободного члена: \( A + 7B = 3 \)

Подставляем \( A = -B \) во второе уравнение: \( -B + 7B = 3 \)

\( 6B = 3 \)

\( B = \frac{1}{2} \)

Теперь находим \( A \): \( A = -B = -\frac{1}{2} \)

Таким образом, дробь разлагается на два слагаемых: \( \frac{3}{(n+7)(n+1)} = \frac{-\frac{1}{2}}{n+7} + \frac{\frac{1}{2}}{n+1} \)

\( = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+7} \right) \)

Теперь можем записать исходную сумму ряда: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+7)(n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+7} \right) \)

Этот ряд является телескопическим, то есть при раскрытии последовательные члены взаимно сокращаются. Посмотрим на первые несколько слагаемых: \( \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \cdots \right) \)

Слагаемые после \( \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{\infty} \) сокращаются. Остается только: \( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) \)

Вычислим эту сумму: \( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) = \frac{1}{2} \times \left( 0.5 + 0.3333 + 0.25 + 0.2 + 0.1667 + 0.1429 \right) \)

\( \frac{1}{2} \times (1.5929) \approx 0.79645 \)

Таким образом, сумма ряда приближенно равна: \( S \approx 0.7965 \)

Итак, мы нашли сумму данного бесконечного ряда.