Найти сумму бесконечного числового ряда

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды

Нам нужно найти сумму бесконечного числового ряда:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{49n^2 - 35n - 6} 

Шаг 1: Разложим знаменатель на множители

Рассмотрим квадратный трёхчлен в знаменателе:

 49n^2 - 35n - 6 

Попробуем разложить его на множители. Для этого найдём корни уравнения:

 49n^2 - 35n - 6 = 0 

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

 n = \frac{-(-35) \pm \sqrt{(-35)^2 - 4 \cdot 49 \cdot (-6)}}{2 \cdot 49} 

 n = \frac{35 \pm \sqrt{1225 + 1176}}{98} = \frac{35 \pm \sqrt{2401}}{98} 

 \sqrt{2401} = 49, \quad \Rightarrow n = \frac{35 \pm 49}{98} 

Получаем два корня:

• n_1 = \frac{35 + 49}{98} = \frac{84}{98} = \frac{6}{7}
• n_2 = \frac{35 - 49}{98} = \frac{-14}{98} = -\frac{1}{7}

Следовательно:

 49n^2 - 35n - 6 = 49(n - \frac{6}{7})(n + \frac{1}{7}) 

Упростим:

 = 49 \left(n - \frac{6}{7}\right)\left(n + \frac{1}{7}\right) = 49 \cdot \frac{(7n - 6)(7n + 1)}{49} = (7n - 6)(7n + 1) 

Шаг 2: Разложим дробь на простейшие

Рассмотрим:

 \frac{7}{(7n - 6)(7n + 1)} 

Предположим разложение в виде:

 \frac{7}{(7n - 6)(7n + 1)} = \frac{A}{7n - 6} + \frac{B}{7n + 1} 

Приведём правую часть к общему знаменателю:

 \frac{A(7n + 1) + B(7n - 6)}{(7n - 6)(7n + 1)} = \frac{7}{(7n - 6)(7n + 1)} 

Сравниваем числители:

 A(7n + 1) + B(7n - 6) = 7 

Раскроем скобки:

 7An + A + 7Bn - 6B = 7 

Соберём подобные:

 (7A + 7B)n + (A - 6B) = 7 

Сравниваем коэффициенты:

• 7A + 7B = 0
• A - 6B = 7

Из первого уравнения:

A = -B

Подставим во второе:

-B - 6B = 7 \Rightarrow -7B = 7 \Rightarrow B = -1, \quad A = 1

Шаг 3: Подставим обратно

 \frac{7}{(7n - 6)(7n + 1)} = \frac{1}{7n - 6} - \frac{1}{7n + 1} 

Тогда весь ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{7n - 6} - \frac{1}{7n + 1} \right) 

Шаг 4: Исследуем телескопируемость

Запишем первые несколько слагаемых:

• При n = 1: \frac{1}{1} - \frac{1}{8}
• При n = 2: \frac{1}{8} - \frac{1}{15}
• При n = 3: \frac{1}{15} - \frac{1}{22}
• ...

Видим, что происходит телескопирование — большинство членов взаимно уничтожаются:

 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{15} \right) + \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{22} \right) + \cdots 

Все промежуточные дроби сокращаются, остаётся:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{7n - 6} - \frac{1}{7n + 1} \right) = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{7N + 1} \right) = 1 

✅ Ответ:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{49n^2 - 35n - 6} = 1