Найти сходимость числового ряда

Этот вопрос относится к предмету математики, а конкретнее к разделу математического анализа, в частности, к изучению числовых рядов и их сходимости. Мы рассмотрим сходится ли числовой ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{5^n(n^2+6)}\text{)}$.

Шаг 1: Применение признака сравнения

Для определения сходимости ряда можно использовать признак сравнения. Сравним данный ряд с геометрическим рядом $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{|x|}{5}\right)}^n\text{)}$.

Шаг 2: Исследование номинатора и знаменателя

Рассмотрим выражение: $\text{[}\left|\frac{x^n}{5^n(n^2+6)}\right|\text{]}$ Если $\text{(}n\text{)}$ достаточно велико, то $\text{(}{n}^2\text{)}$ будет доминировать в знаменателе, и мы можем оценить выражение как: $\text{[}\approx \frac{|x{|}^n}{5^n{n}^2}\text{]}$

Шаг 3: Применение признака д'Алембера (или корневого признака Коши)

Применим следующий признак для проверки абсолютной сходимости ряда: $\text{[}L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\text{]}$ Где $\text{(}{a}_n=\frac{x^n}{5^n(n^2+6)}\text{)}$.

$\text{(}{a}_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{5^{n+1}((n+1{)}^2+6)}\text{)}$

$\text{[}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{5^{n+1}((n+1{)}^2+6)}}{\frac{x^n}{5^n(n^2+6)}}\right|=\left|\frac{x^{n+1}\cdot 5^n\cdot (n^2+6)}{x^n\cdot 5^{n+1}\cdot ((n+1{)}^2+6)}\right|=\left|\frac{x\cdot (n^2+6)}{5\cdot ((n+1{)}^2+6)}\right|\text{]}$

Теперь упростим выражение: $\text{[}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x\cdot (n^2+6)}{5\cdot (n^2+2n+1+6)}\right|=\left|\frac{x\cdot (n^2+6)}{5\cdot (n^2+2n+7)}\right|\approx \frac{|x|}{5}\text{]}$

Шаг 4: Заключение

Определим, при каком значении $\text{(}L\text{)}$ ряд будет сходиться. Используем признак д'Алембера: ряд сходится, если $\text{(}L<1\text{)}$. $\text{[}\left|\frac{|x|}{5}\right|<1⟹|x|<5\text{]}$ Следовательно, ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{5^n(n^2+6)}\text{)}$ сходится при $\text{(}|x|<5\text{)}$.