Найти сходимость числового ряда

Этот вопрос относится к предмету математики, а конкретнее к разделу математического анализа, в частности, к изучению числовых рядов и их сходимости. Мы рассмотрим сходится ли числовой ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{5^n (n^2 + 6)}\).

Шаг 1: Применение признака сравнения

Для определения сходимости ряда можно использовать признак сравнения. Сравним данный ряд с геометрическим рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{|x|}{5}\right)^n\).

Шаг 2: Исследование номинатора и знаменателя

Рассмотрим выражение: \[\left|\frac{x^n}{5^n(n^2 + 6)}\right|\] Если \(n\) достаточно велико, то \(n^2\) будет доминировать в знаменателе, и мы можем оценить выражение как: \[\approx \frac{|x|^n}{5^n n^2}\]

Шаг 3: Применение признака д'Алембера (или корневого признака Коши)

Применим следующий признак для проверки абсолютной сходимости ряда: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \] Где \(a_n = \frac{x^n}{5^n (n^2 + 6)}\).

\(a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{5^{n+1}((n+1)^2 + 6)}\)

\[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{5^{n+1}((n+1)^2 + 6)}}{\frac{x^n}{5^n (n^2 + 6)}}\right| = \left|\frac{x^{n+1} \cdot 5^n \cdot (n^2 + 6)}{x^n \cdot 5^{n+1} \cdot ((n+1)^2 + 6)}\right| = \left|\frac{x \cdot (n^2 + 6)}{5 \cdot ((n+1)^2 + 6)}\right| \]

Теперь упростим выражение: \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x \cdot (n^2 + 6)}{5 \cdot (n^2 + 2n + 1 + 6)}\right| = \left|\frac{x \cdot (n^2 + 6)}{5 \cdot (n^2 + 2n + 7)}\right| \approx \frac{|x|}{5} \]

Шаг 4: Заключение

Определим, при каком значении \(L\) ряд будет сходиться. Используем признак д'Алембера: ряд сходится, если \(L < 1\). \[\left|\frac{|x|}{5}\right| < 1 \implies |x| < 5\] Следовательно, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{5^n (n^2 + 6)}\) сходится при \( |x| < 5 \).