Найти решение задачи Коши. Решить как уравнение бернали

Задание: Нужно решить задачу Коши, представленную уравнением:

\[ x(y' + y) = x y^2, \quad y(0) = 2. \] Это дифференциальное уравнение можно решить как уравнение Бернулли.

1. Преобразование уравнения:

Начнём путём упрощения исходного уравнения: \[ x(y' + y) = xy^2. \] Распишем производную \( y' \) в явном виде: \[ xy' + xy = xy^2. \] Теперь выражаем это так, чтобы привести к стандартной форме уравнения Бернулли: \[ y' + y = y^2. \] Мы получили уравнение вида: \[ y' + P(x) y = Q(x) y^n, \] где \( P(x) = 1 \), \( Q(x) = 1 \) и \( n = 2 \).

2. Стандартная процедура решения уравнения Бернулли:

Уравнения Бернулли приводятся к линейным дифференциальным уравнениям путём замены. Для этого вводим замену: \[ z = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}. \] Следовательно, производная \( z \) по \( x \): \[ z' = -y^{-2} y'. \] Теперь подставим эту замену в исходное уравнение: \[ y' + y = y^2, \] Возьмём производную: \[ y' = -z' y^2 = -z'. \] Используем эту замену в уравнении: \[ -y^{-2}y' + y^{-1