Определение предмета и раздела:
Задание относится к курсу комплексного анализа, а конкретно — к разделу ряды Лорана и разложения аналитических функций.
Объяснение задачи:
Необходимо найти разложение в ряд Лорана комплексной функции:
\[ \frac{z^2 - 2z + 5}{(z-2)(z^2+1)} \]
в окрестности точки \( z = 2 \) в кольцо
\( 1 < |z-2| < 2 \).
Шаги решения:
- Замена переменной: Чтобы было удобнее работать в окрестности
\( z=2 \), введем новую переменную сдвига. Пусть:
\[ w = z - 2 \]
Тогда
\( z = w + 2 \), и функции необходимо переписать через \( w \).
-
Преобразуем выражение для функции:
\[ \frac{(z^2 - 2z + 5)}{(z-2)(z^2 + 1)} = \frac{((w+2)^2 - 2(w+2) + 5)}{w \left((w+2)^2 + 1 \right)} \]
Сначала упростим числитель:
\[ (w+2)^2 - 2(w+2) + 5 = w^2 + 4w + 4 - 2w - 4 + 5 = w^2 + 2w + 5 \]
Теперь числитель имеет вид:
\[ w^2 + 2w + 5 \]
-
Перейдём к знаменателю:
\[ (w+2)^2 + 1 = w^2 + 4w + 4 + 1 = w^2 + 4w + 5 \]
Таким образом, функция записывается как:
\[ \frac{w^2 + 2w + 5}{w(w^2 + 4w + 5)} \]
-
Теперь разделим выражение (выделим основную часть, которая ведёт к членам с отрицательными степенями):
\[ \frac{w^2 + 2w + 5}{w(w^2 + 4w + 5)} = \frac{1}{w} \cdot \frac{w^2 + 2w + 5}{w^2 + 4w + 5} \]
-
Следующий шаг — разложить дробь
\[ \frac{w^2 + 2w + 5}{w^2 + 4w + 5} \]
по степеням \( w \) в кольце
\( 1 < |w| < 2 \). Мы можем использовать метод деления, предполагая малость \( w \). Рассмотрим долгую процедуру деления, которая даст нам ряд:
\[ \frac{w^2 + 2w + 5}{w^2 + 4w + 5} = 1 - \frac{2w}{5} + O(w^2) \]
-
Теперь мы записываем полное разложение:
\[ \frac{w^2 + 2w + 5}{w(w^2 + 4w + 5)} = \frac{1}{w} \left(1 - \frac{2w}{5} + O(w^2)\right) \]
-
Мы получаем следующее разложение в ряд Лорана:
\[ \frac{1}{w} - \frac{2}{5} + O(w) \]
Ответ:
Ряд Лорана для функции
\(\frac{z^2 - 2z + 5}{(z-2)(z^2 + 1)}\)
в кольце \(1 < |z-2| < 2\) имеет вид:
\[ \frac{1}{z-2} - \frac{2}{5} + O(z-2) \]
Разложение Лорана представляет собой ряд, который включает как обыкновенные (аналитические) члены (\( (z-2)^n \), где \( n \geq 0 \)), так и член с отрицательными степенями \( (z-2)^{-n} \), характерный для областей вне радиуса сходимости аналитической части.