Найти радиус сходимости ряда

Данное задание относится к курсу математического анализа, разделу "Ряды", а именно к теме "Радиус сходимости степенного ряда".

Чтобы найти радиус сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n x^n}{n^2}\), воспользуемся формулой радиуса сходимости для степенного ряда: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \] где \(a_n = \frac{8^n}{n^2}\). Для вычисления радиуса сходимости, давайте найдём \(\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\).

Первое, что нужно сделать, это упростить подкоренное выражение: \[ \sqrt[n]{\left|\frac{8^n}{n^2}\right|} = \sqrt[n]{\frac{8^n}{n^2}} = \frac{\sqrt[n]{8^n}}{\sqrt[n]{n^2}} \]

Теперь упростим каждый из компонентов отдельно. \[ \sqrt[n]{8^n} = 8 \] \[ \sqrt[n]{n^2} = (n^2)^{1/n} = n^{2/n} = e^{2(\ln n)/n} \] где использовали тот факт, что \(n^{2/n} \to 1\) при \(n \to \infty\) (поскольку \(\frac{\ln n}{n} \to 0\) при \(n \to \infty\)).

Следовательно, \[ \frac{\sqrt[n]{8^n}}{\sqrt[n]{n^2}} = \frac{8}{n^{2/n}} \to 8 \cdot 1 = 8 \,\, \text{при} \,\, n \to \infty \] Теперь можем найти лимитсупремум: \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 8 \] Следовательно, радиус сходимости будет \[ R = \frac{1}{8} \]

Таким образом, радиус сходимости данного ряда равен \(\frac{1}{8}\), или \(0.125\).

Ответ: \[ 0.125 \]