Найти радиус сходимости числового ряда

Предмет: Математика

Раздел: Анализ, ряды

Задание: Найти радиус сходимости числового ряда

Рассмотрим данный числовой ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{5^n (n^2 + 6)} \]

Чтобы найти радиус сходимости, воспользуемся теоремой Коши-Адамара:

Радиус сходимости можно найти по формуле: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \]

где \( a_n = \frac{1}{5^n (n^2 + 6)} \).

Прежде чем непосредственно применять эту формулу, упростим выражение: \[ |a_n x^n| = \left|\frac{x^n}{5^n (n^2 + 6)}\right| = \frac{|x|^n}{5^n (n^2 + 6)} \]

Здесь у нас \(a_n = \frac{1}{5^n (n^2 + 6)}\).

Теперь найдем предел: \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]

Возьмем выражение для \( |a_n| = \frac{1}{5^n (n^2 + 6)} \)

Теперь возьмем \(n\)-й корень: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{5^n (n^2 + 6)}} = \frac{1}{5 (n^2 + 6)^{1/n}} \]

Далее, для нахождения предела, заметим, что \( (n^2 + 6)^{1/n} \) стремится к 1 при \( n \to \infty \): \[ \sqrt[n]{n^2 + 6} = (n^2 + 6)^{1/n} \approx n^{2/n} = e^{2 \ln(n)/n} \to 1, \text{ так как } \frac{2 \ln(n)}{n} \to 0 \text{ при } n \to \infty \]

Следовательно, \(\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{5}\).

Теперь, найдем радиус сходимости: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{1/5} = 5 \]

Таким образом, радиус сходимости данного числового ряда равен 5.