Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. Верхний предел плюс бесконечность Нижний n=1 ((-1)^n(x+10))^n/sqrt(n(n+1))

Определим предмет и раздел:

Предмет: Математика (раздел: математический анализ, теория рядов).

Задача: Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала.

Условие задачи:

Дан степенной ряд: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{((-1)^n (x+10)^n)}{\sqrt{n(n+1)}}. \]

Шаг 1. Преобразование ряда

Сначала упростим общее выражение для n-ого члена ряда. Это можно переписать как: \[ a_n = \frac{(-1)^n (x+10)^n}{\sqrt{n(n+1)}}. \] Этот ряд — степенной относительно \(x+10\).

Чтобы найти радиус сходимости, применим критерий Коши (или d'Аламберта) для степенных рядов.

Шаг 2. Применение признака д'Аламбера для нахождения радиуса сходимости

Признак д'Аламбера для сходимости степенного ряда: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1. \] Найдем отношение \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\): \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(-1)^{n+1} (x+10)^{n+1}}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}}{\frac{(-1)^n (x+10)^n}{\sqrt{n(n+1)}}}. \]

Упрощаем: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1} (x+10)^{n+1} \cdot \sqrt{n(n+1)}}{(-1)^n (x+10)^n \cdot \sqrt{(n+1)(n+2)}}. \] Знак \((-1)\) сократится, и остаётся следующее отношение: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left| x+10 \right| \cdot \frac{\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}. \]

Теперь упростим выражение для дроби. Заметим, что при \(n \to \infty\), дробь \(\frac{\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}\) стремится к 1, так как добавление единицы к \(n\) при больших \(n\) становится несущественным. Таким образом, при больших \(n\): \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \approx \left|x + 10\right|. \]

По условию сходимости ряда этот предел должен быть меньше 1: \[ \left| x+10 \right| < 1. \]

Шаг 3. Определение радиуса сходимости и интервала

Неравенство \(\left| x + 10 \right| < 1\) можно переписать как: \[-1 < x + 10 < 1.\] Вычтем 10 из всех частей неравенства: \[-11 < x < -9.\]

Таким образом, радиус сходимости ряда \(R = 1\), а интервал сходимости: \((-11, -9).\]

Шаг 4. Исследование сходимости на концах интервала (конечные точки \(x = -11\) и \(x = -9\))

1) Точка \(x = -11\):

Подставим \(x = -11\) в общий член ряда: \[ a_n = \frac{(-1)^n (-11+10)^n}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{(-1)^n (-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}. \]

То есть ряд становится: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}. \] Для исследования сходимости этого ряда можно приблизить его общий член как: \[ \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \sim \frac{1}{n}. \] Известно, что ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) (гармонический ряд) расходится. Следовательно, ряд при \(x = -11\) расходится.

2) Точка \(x = -9\):

Теперь подставим \(x = -9\) в общий член ряда: \[ a_n = \frac{(-1)^n (-9+10)^n}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{(-1)^n (1)^n}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}. \]

Полученный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}. \] Здесь используется признак Лейбница для проверки сходимости знакопеременных рядов. Так как \(\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\) является убывающей последовательностью, стремящейся к нулю, ряд при \(x = -9\) сходится условно.

Шаг 5. Окончательный ответ

• Радиус сходимости: \(R = 1\).
• Интервал сходимости: \((-11, -9]\).
• При \(x = -11\) ряд расходится.
• При \(x = -9\) ряд сходится условно.