Найти производные функции и выполнить анализ полученной функции

Это задание по предмету математика, раздел - математический анализ или, более конкретно, дифференциальное исчисление. Вам нужно найти производные функции \(F(x) = \sin^2 x\) и выполнить анализ полученной функции.

Разбор решения:

1. Нахождение первой производной \(F(x)\):
   • Функция \(F(x) = \sin^2 x\).
   • Для нахождения производной этой функции нам нужно использовать правило цепной производной: \[ F'(x) = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x \]
2. Значение первой производной в точке \(x = \frac{\pi}{2}\):
   • \(F'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin (\pi) = 0\)
3. Нахождение второй производной \(F''(x)\):
   • Теперь нам нужно найти производную от первой производной, то есть производную от \(\sin 2x\): \[ F''(x) = 2 \cos 2x \]
   • Значение второй производной в точке \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ F''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2 \]
4. Нахождение третьей производной \(F'''(x)\):
   • Теперь нам нужно найти производную от второй производной, то есть производную от \(2\cos 2x\): \[ F'''(x) = 2 \cdot (-2) \sin 2x = -4 \sin 2x \]
   • Значение третьей производной в точке \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ F'''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 \sin \pi = -4 \cdot 0 = 0 \]
5. Нахождение четвертой производной \(F^{(4)}(x)\):
   • Теперь нам нужно найти производную от третьей производной, то есть производную от \(-4 \sin 2x\): \[ F^{(4)}(x) = -4 \cdot 2 \cos 2x = -8 \cos 2x \]
   • Значение четвертой производной в точке \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ F^{(4)}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -8 \cos \pi = -8 \cdot (-1) = 8 \]

Таким образом, значения производных \(F(x) = \sin^2 x\) в точке \(x = \frac{\pi}{2}\) следующие:

• \(F'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
• \(F''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2\)
• \(F'''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
• \(F^{(4)}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 8\)

Надеюсь, этот подробный разбор поможет вам лучше понять процесс нахождения производных для данной функции.