Найти производную второго порядка

Данное уравнение относится к предмету математики, разделу дифференциальных уравнений. Мы имеем первое обыкновенное дифференциальное уравнение: \( y' = 2e^y - xy \). Необходимо найти производную второго порядка \( y'' \).

Шаг 1: Продифференцируйте уравнение \( y' = 2e^y - xy \).

Для начала нам нужно выразить производную \( y' \) и затем найти её производную \( y'' \).

Используем производную суммы и произведения: \[\frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(2e^y) - \frac{d}{dx}(xy)\]

Производная от \( 2e^y \)

Используем правило цепочки, помня, что \( y = y(x) \) и при дифференцировании по \( x \) нужно учитывать это: \[\frac{d}{dx}(2e^y) = 2e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2e^y \cdot y' = 2e^y \cdot (2e^y - xy)\]

Производная от \( xy \)

Это произведение двух функций \( x \) и \( y(x) \). Применяем правило произведения: \[\frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x y'\]

Шаг 2: Объедините результаты

Теперь у нас есть: \[y'' = \frac{d}{dx}(y') = 2e^y \cdot (2e^y - xy) - (y + x y')\]

Подставим выражение для \( y' \) в это уравнение: \[y'' = 2e^y \cdot (2e^y - xy) - (y + x(2e^y - xy))\]

Теперь можно записать это равенство: \[y'' = 2e^y(2e^y - xy) - (y + 2xe^y - x^2y)\]

Шаг 3: Упростите выражение

Раскроем скобки и приведём подобные члены: \[y'' = 4e^{2y} - 2xye^y - y - 2xe^y + x^2y\]

Это и будет выражение для производной второго порядка \( y'' \).