Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

Предмет данного задания — векторное исчисление (или векторный анализ), раздел — нахождение поверхностных интегралов второго рода (интегралы по замкнутым поверхностям).

Задание: найти поток векторного поля F через замкнутую поверхность S. Используем теорему Гаусса (также известную как дивергенционную теорему). Дивергенционная теорема связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с интегралом дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

Теорема Гаусса формулируется следующим образом: \[ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV \] где:

• \(\mathbf{F}\) — векторное поле,
• \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) — дивергенция векторного поля,
• \(V\) — объем, ограниченный поверхностью \(S\).

1. Найдем дивергенцию векторного поля \( \mathbf{F} \): \[ \mathbf{F} = 3x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j} + 3z\mathbf{k} \] \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x} (3x) + \frac{\partial}{\partial y} (2y) + \frac{\partial}{\partial z} (3z) = 3 + 2 + 3 = 8 \]
2. Выражаем объем поверхности \(S\): Поверхность \(S\) состоит из двух частей:
   • Верхняя часть \(z = 1\) и \(x^2 + y^2 \leq 1\) — круг радиуса 1 в плоскости \(z = 1\).
   • Нижняя часть — параболоид \(z = x^2 + y^2\), который ограничивает поверхность снизу.
3. Интегрируем дивергенцию по объему: Объем \(V\) — это область между плоскостью \(z = 1\) и параболоидом \(z = x^2 + y^2\). Удобно использовать цилиндрические координаты: \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\), и \(z = z\). В цилиндрических координатах элемент объема \(dV = r dr \, d\theta \, dz\). \[ 0 \leq r \leq 1 \] \[ 0 \leq \theta \leq 2\pi \] \[ r^2 \leq z \leq 1 \] Объемный интеграл: \[ \iiint_V 8 \, dV = 8 \iiint_V \, dV \] Запишем интеграл по объему в цилиндрических координатах: \[ \iiint_V dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{r^2}^{1} r \, dz \, dr \, d\theta \]
4. Рассчитаем интеграл по объему: Внутренний интеграл по \(z\): \[ \int_{r^2}^{1} dz = (1 - r^2) \] Средний интеграл по \(r\): \[ \int_{0}^{1} r (1 - r^2) \, dr = \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr \] \[ = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \] Наружный интеграл по \( \theta \): \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Теперь умножаем все результаты: \[ 8 \times (2\pi) \times \frac{1}{4} = 4\pi \] Таким образом, поток векторного поля через замкнутую поверхность равен \( 4\pi \).