Найти площадь области (меньшую из площадей), ограниченной линиями

Этот вопрос относится к предмету "Математика", раздел "Аналитическая геометрия и интегральное исчисление".

Чтобы найти площадь области, ограниченной линиями \(x^2 + y^2 = 3\), \(x^2 + y^2 = 9\), \(y=x\) и \(x=0\), нужно сначала понять, как эти линии располагаются на плоскости.

1. \(x^2 + y^2 = 3\) - это окружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{3}\).
2. \(x^2 + y^2 = 9\) - это окружность с центром в начале координат и радиусом \(3\).
3. \(y = x\) - это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к осям.
4. \(x = 0\) - это ось \(y\).

Найдем точки пересечения окружностей с прямой \(y=x\). Для \(x^2 + y^2 = 3\) и \(y=x\):

• \[ x^2 + x^2 = 3 \]
• \[ 2x^2 = 3 \]
• \[ x^2 = \frac{3}{2} \]
• \[ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]

То есть точки пересечения имеют координаты \(\left( \sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}} \right)\) и \(\left( -\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}} \right)\). Для \(x^2 + y^2 = 9\) и \(y=x\):

• \[ x^2 + x^2 = 9 \]
• \[ 2x^2 = 9 \]
• \[ x^2 = \frac{9}{2} \]
• \[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} \]

То есть точки пересечения имеют координаты \(\left( \sqrt{\frac{9}{2}}, \sqrt{\frac{9}{2}} \right)\) и \(\left( -\sqrt{\frac{9}{2}}, -\sqrt{\frac{9}{2}} \right)\). Нас интересует область, зажатая между окружностями и прямыми в первом квадранте. Поэтому используем положительные значения координат. Теперь вычисляем площадь данного участка. Площади между двумя окружностями можно найти с помощью интегралов. Мы вычислим площадь между окружностями от \(y=0\) до \(y=x\). Площадь между двумя окружностями:

\[ A = \int_0^{ \sqrt{\frac{3}{2}} } \left( \sqrt{9 - y^2} - \sqrt{3 - y^2} \right) \, dy \]

1. Сначала нужно выразить \(x\) через \(y\) для каждой окружности:
2. \[ x = \sqrt{9 - y^2} \] и \[ x = \sqrt{3 - y^2} \]
3. Определяем пределы интегрирования от \(y = 0\) до \(y = \sqrt{\frac{3}{2}}\).
4. Таким образом, интеграл выглядит следующим образом:
5. \[ A = \int_0^{ \sqrt{\frac{3}{2}} } \left( \sqrt{9 - y^2} - \sqrt{3 - y^2} \right) \, dy \]
6. Этот интеграл можно решить численно или аналитически с использованием подстановки, однако здесь мы воспользуемся физическими простыми методами.
7. Воспользуемся тригонометрической подстановкой для нахождения анализа, или досчитаем на простых аналитических вычислениях (расчётам значения интегралов через подставление).
8. Итоговая площадь данной области проще посчитать через понимание фигур. Проделиться на два треугольника эллипсы среди аналитического подхода:
9. И результующе \[A = \pi \cdot \dfrac{9}{4} - \pi \cdot \frac{3}{4} = \dfrac{3\pi}{4}.\]