Найти первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд

Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Дифференциальные уравнения и их разложения в ряд".

Цель - найти первые отличные от нуля члены разложения в степенной ряд для функции \( y \), которая задана дифференциальным уравнением и начальным условием.

Дано дифференциальное уравнение: \[ y' - y \cdot \tan(x) = \cos(x), \] с начальным условием: \[ y(0) = 1. \]

Рассмотрим решение с разложением функции \( y \) в степенной ряд: \[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \]

Поскольку \( y(0) = 1 \), то: \[ a_0 = 1. \]

Дифференцируем функцию \( y(x) \): \[ y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \cdots \]

Теперь разложим \( \tan(x) \) и \( \cos(x) \) в ряды Тейлора около точки \( x = 0 \): \[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots \] \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots \]

Подставляем эти разложения в исходное уравнение: \[ y' - y \cdot \left( x + \frac{x^3}{3} + \cdots \right) = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots \]

Начнем с нахождения первых членов разложения для \( y(x) \):

1. \( n=0 \):
   • \[ y' = a_1, \]
   • \[ y \cdot \tan(x) = 1 \cdot \left(x + \frac{x^3}{3} + \cdots \right) = x + \frac{x^3}{3} + \cdots \]
   • Подставляем \( y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \) и \( y' \) в уравнение: \[ a_1 - (1 + a_1 x + a_2 x^2) \cdot (x + \frac{x^3}{3}) = 1 - \frac{x^2}{2} \]
   • Упростим каждую степень по отдельности: \[ a_1 - (x + a_1 x^2 + a_2 x^3) \cdot (x + \frac{x^3}{3}) = 1 - \frac{x^2}{2} \]
   • Рассмотрим отдельно степени:
     • Степень \( x \): \[ a_1 - x = 0 \Rightarrow a_1 = 0 \]
     • Степень \( x^2 \): \[ 0 - (a_1 x + a_2 x^2) x = 0 - a_2 x^2 = - \frac{x^2}{2} \Rightarrow -a_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow a_2 = \frac{1}{2} \]

Следовательно, первые члены разложения для \( y(x) \) имеют вид: \[ y(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{1}{2} x^2 + \cdots \]

Ответ: первые отличные от нуля члены разложения в степенной ряд для функции \( y(x) \) - это: \[ y(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \cdots \]