Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

Задание: Нужно найти первые пять членов разложения в степенной ряд для решения дифференциального уравнения: \( y'' = x^3 y \) с начальными условиями: \( y(0) = 1, \quad y'(0) = 1. \)

Раздел предмета: Это задача из математического анализа, а именно из дифференциальных уравнений и теории степенных рядов.

Решение:

1. Запишем общее решение в виде степенного ряда: \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \dots \) Нужно найти коэффициенты \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\).
2. Для вычисления производных используем степенной ряд: Первая производная: \( y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4a_4 x^3 + \dots \) Вторая производная: \( y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} a_n n (n-1) x^{n-2} = 2a_2 + 6a_3 x + 12a_4 x^2 + \dots \)
3. Подставим разложение второго порядка в исходное уравнение: По условию у нас дано: \( y''(x) = x^3 y(x) \) Правая часть: \( x^3 y(x) = x^3 \left(a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots\right) = a_0 x^3 + a_1 x^4 + a_2 x^5 + \dots \) Левая часть: \( y''(x) = 2a_2 + 6a_3 x + 12a_4 x^2 + \dots \) Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\).
4. Найдем коэффициенты \(a_n\): Для начала рассмотрим начальные условия:
   • \( y(0) = 1 \Rightarrow a_0 = 1\).
   • \( y'(0) = 1 \Rightarrow a_1 = 1\).
   Теперь займемся сопоставлением коэффициентов при степенях \(x\). Из уравнения: \[ 2a_2 + 6a_3 x + 12a_4 x^2 + \dots = a_0 x^3 + a_1 x^4 + a_2 x^5 + \dots \]
   • При \(x^0\): слева нет членов, следовательно, \(2a_2 = 0 \Rightarrow a_2 = 0\).
   • При \(x^1\): слева нет членов, следовательно, \(6a_3 = 0 \Rightarrow a_3 = 0\).
   • При \(x^2\): слева нет членов, следовательно, \(12a_4 = 0 \Rightarrow a_4 = 0\).
   • При \(x^3\): \(0 = a_0 \Rightarrow a_0 = 1\), что совпадает с начальным условием.
   Таким образом: \[ a_2 = 0, \, a_3 = 0, \, a_4 = 0. \]
5. Ответ: Решение уравнения в виде степенного ряда с начальными условиями: \( y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \dots \) первые пять членов: \( y(x) = 1 + x. \)