Найти область сходимости степного ряда

Предмет: Математика

Раздел: Ряды и их сходимость

Необходимо найти область сходимости степенного ряда:

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3n}{(5n-8)^3}(x-2)^n.

Решение:

Для определения области сходимости степенного ряда используем радиус сходимости, который можно найти с помощью критерия Коши или критерия Д’Аламбера. Рассмотрим критерий Д’Аламбера:

Ряд \sum a_n (x-c)^n сходится, если

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |x-c| < 1.

1. Выделим общий член ряда:

Общий член ряда:
a_n = \frac{3n}{(5n-8)^3}.

2. Применим критерий Д’Аламбера:

Рассмотрим отношение:
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{3(n+1)}{(5(n+1)-8)^3}}{\frac{3n}{(5n-8)^3}} \right| = \frac{(n+1)(5n-8)^3}{n(5(n+1)-8)^3}.

Упростим выражение:
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{(5n-8)^3}{(5n-3)^3}.

При n \to \infty,
\frac{n+1}{n} \to 1, \quad \frac{(5n-8)^3}{(5n-3)^3} \to \left( \frac{5n-8}{5n-3} \right)^3 \to 1.

Таким образом:
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1.

3. Условие сходимости:

Для сходимости ряда:
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |x-2| < 1.

Так как \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1, условие сходимости превращается в:
|x-2| < R,

где R — радиус сходимости.

Для данного ряда радиус сходимости равен бесконечности, так как общий член a_n убывает достаточно быстро. Таким образом, ряд сходится для всех x.

Ответ:

Область сходимости степенного ряда:
x \in \mathbb{R}.