Найти область сходимости степенного ряда

Задача нахождения области сходимости степенных рядов

Это задание состоит в нахождении области сходимости двух степенных рядов. Для каждого из них нужно использовать формулу Лейбница для вычисления радиуса сходимости.

а) Степенной ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n^2 \ln n} (x-2)^n\) сходится абсолютно, если абсолютная величина общего члена уменьшается с ростом \(n\). Основная проблема возникает, когда \(x=2\), потому что в это положение ряд сводится к знакочередующемуся ряду Лейбница. В остальных случаях радиус сходимости будет всегда 1, исходя из множителя \((x-2)^n\), так как коэффициенты при \((x-2)^n\) уменьшаются достаточно быстро из-за наличия \(n^2 \ln n\) в знаменателе.

б) Для ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n+5)^n}{(4n+7)^n} (x+2)^n\) используем признак д'Аламбера (отношения последовательных членов) для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Выражение для \(n\)-го члена ряда можно переписать как \((-1)^n \left(\frac{2+\frac{5}{n}}{4+\frac{7}{n}}\right)^n (x+2)^n\). При \(n\) стремящемся к бесконечности, внутреннее отношение стремится к \(\left(\frac{2}{4}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Поэтому радиус сходимости данного ряда будет равен 2. Следовательно, ряд сходится в интервале -4 < x < 0. При \(x = -4\) и \(x = 0\), чтобы проверить сходимость на концах интервала, нужно исследовать поведение ряда отдельно.