Найти область сходимости рядов используя критерий Коши (радиус сходимости)

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, ряды

Необходимо найти область сходимости числового ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n (x-4)^n \]

Для этого будем использовать критерий Коши (радиус сходимости). Рассмотрим данный ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \text{где} \quad a_n = 2^n (x-4)^n \]

Воспользуемся более простым методом нахождения радиуса сходимости методом Д’Аламбера. Применим следующее соотношение: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Подставим выражение \(\ a_n \):

Вычислим отношение: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{2^{n+1} (x-4)^{n+1}}{2^n (x-4)^n} \right| = \left| 2 \cdot (x-4) \right| \]

\[ = |2 (x-4)| \]

Найдем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |2 (x-4)| \]

Для сходимости ряда по признаку Д’Аламбера необходимо условие: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \]

Соответственно: \[ |2 (x-4)| < 1 \]

Разделим обе части на 2: \[ |x-4| < \frac{1}{2} \]

Таким образом, область сходимости данного ряда — это интервал: \[ 4 - \frac{1}{2} < x < 4 + \frac{1}{2} \qquad \text{или} \qquad 3.5 < x < 4.5 \]

Ответ: Область сходимости ряда \(\ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n (x-4)^n \) это интервал \(\ 3.5 < x < 4.5 \).