Найти область сходимости ряда (x+3)^n/((5n-1)*10^n)

Это задание относится к предмету математический анализ, раздел теории рядов, в частности исследования рядов на сходимость.

Для определения области сходимости данного ряда мы используем радиус сходимости. Рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+3)^n}{(5n-1) \cdot 10^n} \] Чтобы найти радиус сходимости, воспользуемся признаком д’Аламбера (который основан на изучении предела отношения последующих членов ряда): \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Для нашего ряда \(a_n = \frac{(x+3)^n}{(5n-1) \cdot 10^n}\). Теперь найдем \(a_{n+1}\): \[ a_{n+1} = \frac{(x+3)^{n+1}}{(5(n+1)-1) \cdot 10^{n+1}} = \frac{(x+3)^{n+1}}{(5n+5-1) \cdot 10^{n+1}} = \frac{(x+3)^{n+1}}{(5n+4) \cdot 10^{n+1}} \]

Теперь найдем отношение \( \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \): \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(x+3)^{n+1}}{(5n+4) \cdot 10^{n+1}} \cdot \frac{(5n-1) \cdot 10^n}{(x+3)^n} \right| \]

Упростим выражение: \[ \left| \frac{(x+3) \cdot (x+3)^n \cdot (5n-1) \cdot 10^n}{(5n+4) \cdot 10^{n+1} \cdot (x+3)^n} \right| = \left| \frac{(x+3) \cdot (5n-1)}{10 \cdot (5n+4)} \right| \]

Теперь найдем предел при \(n \to \infty\): \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x+3) \cdot (5n-1)}{10 \cdot (5n+4)} \right| \] Так как \(5n\) в знаменателе и \(5n\) в числителе доминируют на бесконечности, то можно упростить выражение: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x+3) \cdot 5n}{10 \cdot 5n} \right| = \left| \frac{x+3}{10} \right| \]

Ряд сходится, если \(L < 1\): \[ \left| \frac{x+3}{10} \right| < 1 \] Решим это неравенство относительно \(x\): \[ \left| x+3 \right| < 10 \] Это неравенство можно записать как: \[ -10 < x + 3 < 10 \] Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства: \[ -10 - 3 < x < 10 - 3 \] \[ -13 < x < 7 \]

Таким образом, область сходимости ряда \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+3)^n}{(5n-1) \cdot 10^n}\) находится в интервале: \[ x \in (-13, 7) \]